DL Maths

[merayone]

Bonjour ! :)

Actuellement en MPSI, notre professeur nous a donné un devoir maison en maths (non noté, simple travail de recherche et de rédaction) et je bloque dur sur une question qui n'a pourtant pas l'air si terrible. Je vous en donne l'énoncé :

On définit la suite de polynômes (Tn), n€N par To=1, T1=X et qqesoit n>=0, T(n+2) = 2.X.T(n+1) - T(n). Montrer que qqesoit n€N, qqesoit x€R, Tn (cos x) = cos (nx).

Je pensais démontrer cela par récurrence mais dans la mesure où nous ne connaissons pas le développement linéaire de cos (nx), cela s'avère moins évident que prévu... Je compte donc sur vous pour m'éclaircir !

Amicalement,

merayone

[Ben314]

Salut,
pour faire la preuve par récurence, tu n'as nul besoin de connaitre l'écriture de cos(nx) en fonction de cos(x) [si tu la connaissait, je vois pas trop l'interrêt que tu aurais à faire une récurence]
La seule chose dont tu as besoin, vu la tête de la formule de récurrence des Tn, c'est de vérifier que cos((n+2)x) = 2*cos(x)*cos((n+1)x) - cos(nx)
ce qui n'utilise clairement que les formules cos(a+b)=... et sin(a+b)=...

[MacManus]

Bonjour.

je pense que ce lien va te plaire :
http://www.maths-france.fr/MathSpe/GrandsClassiquesDeConcours/Polynomes/PolynomesTchebychev.pdf

grillé par Ben, qui au passage te donne exactement la même méthode fournie dans ce pdf...

[merayone]

Merci MacManus ! :P

Pour en revenir à la remarque de Ben314, j'ai effectivement essayé avec cos (a+b) mais je ne vois pas très bien comment passer de 2.cos x . [cos(nx).cos(x) - sin(nx).sin(x)] à cos[(n+2)x]... =(