Produit scalaire

[misslolipops]

bonjour j'aurai besoin de votre aide pour démontrer a quelles conditions c'est un produit scalaire?

lambda xx' + µxy' + lambdax'y + 5(xz'+x'z) + (lambda+µ)yy' + (lambda-µ)(yz'+y'z) + lambda.µzz' + tt'

Pour montrer que b est un produit scalaire il faut montrer que b est symétrique, positive et définie. Plus formellement, b est un produit scalaire si :
¤ pour tout X,Y, b(X,Y)=b(Y,X),
¤ b(X,X)0 pour tout X,
¤ b(X,X)=0 implique que X=(0,0,0).

Merci pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Ne pas oublier le principal : la bilinéarité...
Vu tes notations, il sembleraite que lambda et mu soient deux constantes fixées et que la formule que tu parachute au début soit la valeur de b(X,X') pour X=(x,y,z,t) et X'=(x',y',z',t').

Si c'est bien le cas, alors b est effectivement bilinéaire.

Vu le mu xy' + lambda x'y elle est symétrique ssi lambda=mu.

Reste à voir si elle est définie positive (tes deux derniers points) : Pour cela, tu peut faire une "réduction de Gauss", c'est à dire écrire la forme quadraitque associée comme une somme de carrés en utilisant la forme canonique des équations du second degrés OU BIEN écrire la matrice associée et vérifier que ces valeurs propres sont strictement positives...

[misslolipops]

oui justement je cherche à calculer la matrice associée mais je n'y arrive pa

[Ben314]

Ben, dans la matrice associée, le coeff. aij (ligne i, colonne j) c'est la valeur de b(ei,ej) (ou (e1,e2,e3,e4) est la base dans laquelle on exprime la forme bilinéaire) donc, par exemple, pour trouver a32, on prend
(x,y,z,t)=e3=(0,0,1,0) et (x',y',z',t')=e2=(0,1,0,0)
donc en fait, il suffit de "lire" les coeffs qui apparaissent dans b :
Ta matrice est donc :

P.S. C'est quand même nettement plus simple (et plus standard) de faire une réduction de Gauss pour voir si elle est ou pas définie positive...

Edit : quoi que..., ça dépend un peu de la tête de la forme : ici, c'est peut-être plus simple avec la matrice...

[misslolipops]

Merci bcp je n'ai pas vu l'autre méhode mais si vous voulez bien m'expliquer ca sera avec plaisir et quel est la méthode pour calculer les valeurs propres de la matrice?

[Ben314]

Pour calculer les valeur propres, normalement, il faut calculer le polynôme caractéristique, mais ici, ce n'est pas utile : il suffit de voir si elles sont bien strictement positives.
Le truc facile, c'est que le déterminant de la matrice, c'est le produit des valeurs propres, donc il doit être strictement positif.
Aprés, il y a un théorème ( le critère de Sylvester) qui dit que dans une matrice symétrique, pour vérifier que toutes les valeurs propres sont strictement positives, il suffit de calculer le determinants 1x1 en haut-gauche, puis le 2x2 haut-gauche ... etc : ils doivent tous être strictement positif.

Aprés, pour la "méthode de Gauss", c'est bizare que tu l'ait pas vue, c'est dans le "package standard" sur les formes bilinéaires...
regarde là par exemple : c'est assez clair.