Fonctions complexes sur un tore !

[barbu23]

Bonsoir à tous : :happy3:
Est ce ue c'est vrai que les fonctions complexes définies sur un tore s'éxpriment comme ça : avec : ?
Comment s'éxpriment toutes les fonctions complexes définies sur un tore ?
Comment s'éxpriment toutes les fonctions complexes définies sur une sphère ?
Merci d'avance ! :happy3:

[Doraki]

c'est quoi un tore ?

[Ben314]

c'est quoi un tore ?

C'est un bretzel avec un seul trou... :marteau:

[ffpower]

Ca dépend...le tore 1-dimensionnel, c'est T=R/Z qui est diffeomorphe au cercle. Le tore d dimensionel,c'est T^d..Apres pour certains, le tore classique, c est celui dont tu parles, qui correspond a d=2, pour d autres, c est le cercle, qui correspond a d=1.Ici ca a plutot l air de correpondre au cercle, et dans ce cadre, si on a une fonction f du cercle dans C, on peut effectivement regarder f(e^{ix}), ce qui permet de faire de l'analyse de Fourier. Pour les fonctions de la sphere dans C, on peut aussi faire de l analyse de Fourier, mais c est bien plus compliqué..

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

du point de vue de la topologie et du calcul différentiel , un tore est le
produit cartésien de deux cercles

Ce qui correspond au paramètrage intuitif (solide de révolution)

Le tore est bien une variété analytique (sans trop s'avancer, le produit de deux variétés analytiques doit l'être aussi)

Une variété analytique, c'est quand les changements de cartes sont beaucoup plus que différentiables, sont holomorphes.
Par exemple, en 4 variables réelles
les changements de cartes sont en fait holomorphes des variables
et

réfléchissons,
il doit être possible de voir les fonctions définies sur
un tore comme des fonctions de définies sur un quadrillage, à double périodicité, et "passant au quotient":

pour le motif de base du quadrillage, il faut que la fonction de à quotienter prennent les mêmes valeurs sur les bords opposés.
Il ya un critère pour savoir si une fonction de , donc de deux variables réelles (x,y) est holomorphe.

Elle doit être dans le noyau de l'application linéaire
et ses séries de Taylor locales de deux variables (x,y) sont en fait des séries
de l'unique variable z=x+iy

maintenant, j'ai envie de dire (grosse bêtise ?)

il n'y aurait-il pas uniquement les fonctions constantes comme fonctions holomorphes sur le tore ?? comme quotient de fonctions holomorphes bornées sur ??

sur la sphère, c'est en quelles dimensions ?
il existe des fonctions holomorphes de n variables
qui vérifient des formules de Cauchy à n variables.

[barbu23]

D'accord ! Merci à vous tous pour ces precisions ! :happy3:
Inversement ! Connaissez vous des fonctions dont l'image est un tore ou une sphère ?
Merci d'avance ! :happy3:

[busard_des_roseaux]

re,

@barbu: ce qui me trouble, fonction complexe veut dire "holomorphe" ou à valeurs complexes ?
exemple


si tu t'intéresse aux fonctions à valeurs complexes,
je te conseille la démarche (pédagogique) suivante:

i) bien voir les différents aspects du calcul différentiel pour des fonctions réelles définies sur

tu remarques que le domaine de départ est de dimension paire:
différentiabilité, série de Taylor, classe
variétés analytiques réelles. Les changement de cartes sont analytiques
donc développables en série entières

ii) parmi ces fonctions réelles qui ont déja de bonnes propriétés,
on rajoute l'holomorphie,ie, la non dépendance par rapport aux variables

on s'aperçoit alors que les conditions de Cauchy-Riemann
d'holomorphie , du fait de la linéarité, font des fonctions holomorphes
, sans doute , le noyau d'un ou plusieurs opérateurs linéaires
qui sont la dérivation relativement aux variables .

Les fonctions holomorphes sont liées aussi au laplacien, si mes souvenirs sont exacts, les fonctions holomorphes, considérées comme fonction de variables réelles étant harmoniques