Df et D^2f

[foufa]

salut,
en générale si on a la Df(x)h d'une fonction f comment peut on trouver D^2f(x) (h,k).
merci d'avance.

[Nightmare]

Salut,
Qui est k ? Ta fonction est-elle de deux variables? Si c'est le cas, ton D est-il l'opérateur de différentiation ou un opérateur de dérivation partielle?

[foufa]

f une fonction à seul variable et D est l'opération différentielle

[Nightmare]

D'accord je comprends, c'est vrai qu'on peut écrire aussi bien que .

Bref, donc tu veux calculer la différentielle seconde. Ca dépend un peu d'ou part et ou arrive f... Cela peut être facile, comme par exemple si on est dans et qu'on atterri dans R, un peu plus difficile si on est en dimension infinie.

[SlowBrain]

Df(x)h signifie que tu a calculé en x la différentielle Df qui est une application linéaire, que tu as ensuite appliquée à h. Df(x) est donc une application linéaire calculée en un point. Si en chaque x dans un voisinage donné tu peux calculer Df(x), tu peux examiner (Df(x+h)-Df(x)) et voir si ceci n'est pas de la forme D^2f(x)(h) + o(h) dans ton espace d'applications linéaires. Au bilan, D^2f(x) (h,k) signifie que tu as approché (Df(x+h)k-Df(x)k) (Il faut vraiment que je me mette au TeX, j'espère que ce que j'ai écrit sera utile et compréhensible! et Bonne année au passage)

[foufa]

Df(x)h signifie que tu a calculé en x la différentielle Df qui est une application linéaire, que tu as ensuite appliquée à h. Df(x) est donc une application linéaire calculée en un point. Si en chaque x dans un voisinage donné tu peux calculer Df(x), tu peux examiner (Df(x+h)-Df(x)) et voir si ceci n'est pas de la forme D^2f(x)(h) + o(h) dans ton espace d'applications linéaires. Au bilan, D^2f(x) (h,k) signifie que tu as approché (Df(x+h)k-Df(x)k) (Il faut vraiment que je me mette au TeX, j'espère que ce que j'ai écrit sera utile et compréhensible! et Bonne année au passage)

oui j'ai compris
merci

[foufa]

voila cette exemple,

f: Mn(IR)-> Mn(IR)
A --> A³
(je trouve seulement le différentielle d'ordre1; Df(A)H=A²H+AHA+HA²)
et je n'arrive pas a caculer D^2f

[Nightmare]

Comment as-tu trouvé cette différentielle? C'est étonnant ... J'aurais plus vu du .

D'ailleurs :

Et tu remarques que et est bien linéaire (et a fortiori continue puisqu'on est en dimension finie)

[foufa]

voila comment je la trouve

j:IMn->IMn*IMn*IMn
A-> (A,A,A) continue
i:IMn*IMn*IMn->IMn
(x,y,z)--> xyz tri lineaire et continue
i(j (x))= f(x)

Df(A)H=D(i°j)(A) (H)=Di(j(A)) ° Dj(A) H =Di(A,A,A)°( H,H,H)= AAH+AHA+HAA

[Nightmare]

Je n'ai vraiment rien compris !

[foufa]

Je n'ai vraiment rien compris !

j:IMn->IMn*IMn*IMn
A-> (A,A,A) continue
i:IMn*IMn*IMn->IMn
(x,y,z)--> xyz tri lineaire et continue
i(j (x))= f(x)

Df(A)H=D(i°j)(A) (H)=Di(j(A)) ° Dj(A) H =Di(A,A,A)°( H,H,H)= AAH+AHA+HAA

[Nightmare]

Ca n'explique toujours pas ton calcul de Di(A,A,A) ...

C'est un peu inutile tout ça, le calcul de la différentielle de i revient au calcul de la différentielle de f

[foufa]

d'accord, mais c'est pas faux
comment dois-je faire pour determiner D^2f alors?

[Ben314]

Salut,
Comme tu sait d'avance qu'elle est 2 fois différentiable (car polynomiale en les coeffs de la matrices), il suffit de regarder tout les "termes en H²" dans (A+H)^3 : ils te donneront la différentielle seconde en (H,H) (formule de taylors).
Tu trouve ensuite la différentielle seconde en (H,K) en utilisant une formule de polarisation...

P.S. tu peut aussi calculer, pour H fixé, la différentielle en A de Df(A)(H)...

[Nightmare]

Ben c'est pas faux... si c'est faux, ton calcul de Di(A,A,A) est a priori faux.

Pour vérifier simplement, se placer dans , la différentielle de est bien .

[Nightmare]

Salut Ben :happy3:

Tous mes voeux !

[Ben314]

Salut Nightmare, joyeux noël, bonne année.... et tout et tout
Idem pour foufa...

P.S. pour la différentielle première, je pense que foufa a raison : le produit matriciel n'est pas commutatif. La formule qu'il donne vaut bien 3A²H si A et H commutent...

[foufa]

Salut,
Comme tu sait d'avance qu'elle est 2 fois différentiable (car polynomiale en les coeffs de la matrices), il suffit de regarder tout les "termes en H²" dans (A+H)^3 : ils te donneront la différentielle seconde en (H,H) (formule de taylors).
Tu trouve ensuite la différentielle seconde en (H,K) en utilisant une formule de polarisation...

P.S. tu peut aussi calculer, pour H fixé, la différentielle en A de Df(A)(H)...

bonne année Ben :we:,

en utilisant (A+H)^3 puis la formule de taylore je teouve que Df(A)H=3A^2H
et Df^2(A)H=6AH^3 mais ca ne marche pas
ou est ma faute?

[SlowBrain]

Les gars, n'oubliez pas que Mn est un anneau vachement non commutatif!!

[SlowBrain]

Df(A)H=A²H+AHA+HA² c'est bon. Donc Df(A) est l'application H->A²H+AHA+HA²
ensuite D²f(A) est la partie linéaire de Df(A+K)-Df(A) . Or dans H->A²H+AHA+HA² quand on remplace A par A+K on trouve (A+K)²H+(A+K)H(A+K)+H(A+K)²=A²H+AKH+AHK+KKH+AHA+...+HAA+... donc en retirant de cette longue somme les termes de Df(A) on trouve l'expression de D²f(A)