j'ai une équation y"-4y'+4=(x²+1)e^x
il faut d'abord résoudre y"-4y+4=0
r²-4r=0
delta=16 nous avons deux solutions r1=4 et r2=0
f(0)=lambda*e^(4x)+mu*e^(0x)
après je suis bloqué je n'arrive pas à me dépatouiller de cette équation, pouvez vous m'aider?
équations différentielles
39 messages
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par sirglorfindel » 05 Mar 2006, 11:28
Il y a une légère erreur dans ton raisonnement : ce que tu résouts avec r²-4r=0 est l'équa diff y''-4y'=0 (il n'y a pas le 4 qui en fait fait partie du second membre (il ne rentre pas dans les "y")...
Ton second membre est donc (x²-1)e^x-4 !!
Il faut ensuite trouver une solution particulière de ton équation : pour cela, on décompose ton second membre en deux morceaux ((x²-1)e^x et -4) et on cherche une solution particulière de chacune des équations
y''-4y'=(x²-1)e^x et y''-4y'=-4
Pour la première équation diff : une solution particulière est de la forme y'=(ax²+bx+c)e^x (ça doit être dans ton cours).
Tu dérives donc y' pour trouver y'' puis tu calcules y''-4y' et tu identifies avec (x²-1)e^x pour trouver les valeurs de a,b et c.
Pour la seconde équa diff, tu vois que y'=1 est une solution qui marche !
J'espère que c'est un peu plus clair...
Ton second membre est donc (x²-1)e^x-4 !!
Il faut ensuite trouver une solution particulière de ton équation : pour cela, on décompose ton second membre en deux morceaux ((x²-1)e^x et -4) et on cherche une solution particulière de chacune des équations
y''-4y'=(x²-1)e^x et y''-4y'=-4
Pour la première équation diff : une solution particulière est de la forme y'=(ax²+bx+c)e^x (ça doit être dans ton cours).
Tu dérives donc y' pour trouver y'' puis tu calcules y''-4y' et tu identifies avec (x²-1)e^x pour trouver les valeurs de a,b et c.
Pour la seconde équa diff, tu vois que y'=1 est une solution qui marche !
J'espère que c'est un peu plus clair...
par combatlesmaths » 05 Mar 2006, 11:31
pouvez vous séparez les deux équations différentielles pour que ce soit plus clair!
par combatlesmaths » 05 Mar 2006, 11:38
pour l'explication je comprend jusqu'à:
Il y a une légère erreur dans ton raisonnement : ce que tu résouts avec r²-4r=0 est l'équa diff y''-4y'=0 (il n'y a pas le 4 qui en fait fait partie du second membre (il ne rentre pas dans les "y")...
Ton second membre est donc (x²-1)e^x-4 !!
Il faut ensuite trouver une solution particulière de ton équation : pour cela, on décompose ton second membre en deux morceaux ((x²-1)e^x et -4) et on cherche une solution particulière de chacune des équations
y''-4y'=(x²-1)e^x et y''-4y'=-4
après je comprend pas
Il y a une légère erreur dans ton raisonnement : ce que tu résouts avec r²-4r=0 est l'équa diff y''-4y'=0 (il n'y a pas le 4 qui en fait fait partie du second membre (il ne rentre pas dans les "y")...
Ton second membre est donc (x²-1)e^x-4 !!
Il faut ensuite trouver une solution particulière de ton équation : pour cela, on décompose ton second membre en deux morceaux ((x²-1)e^x et -4) et on cherche une solution particulière de chacune des équations
y''-4y'=(x²-1)e^x et y''-4y'=-4
après je comprend pas
par sirglorfindel » 05 Mar 2006, 11:39
y''-4y'=(x²-1)e^x
y''-4y'=-4
En fait le second membre de ton equa diff est une somme de deux termes, donc on résout chaque equa diff séparement pour trouver les solutions particulières et ensuite on ajoute les deux solutions trouvées
y''-4y'=-4
En fait le second membre de ton equa diff est une somme de deux termes, donc on résout chaque equa diff séparement pour trouver les solutions particulières et ensuite on ajoute les deux solutions trouvées
par sirglorfindel » 05 Mar 2006, 11:51
Je vais essayer de détailler davantage :
pour trouver une solution de y''-4y'=(x²-1)e^x :
le second membre est de la forme un polynome fois exponentielle donc la solution particulière est de la forme un polynome (du même degré que le précédent) fois exponentielle (la même que la précédente).
Donc on cherche une solution sous la forme y'=(ax²+bx+c)e^x
(j'espère que tu as compris pourquoi je prend toujours y' ; c'est valable dans ton exercice car on n'a pas de y,sinon on prend y)
Je dérive pour avoir y'' :
y''=(2ax+b)e^x+(ax²+bx+c)e^x
=(ax²+(2a+b)x+b+c)e^x
On calcule y''-4y' :
y''-4y'=(ax²+(2a+b)x+b+c)e^x-4(ax²+bx+c)e^x
= (-3ax²+(2a-3b)x+(b-3c))e^x
On cherche a,b et c pour que (-3ax²+(2a-3b)x+(b-3c))e^x=(x²-1)e^x
On prend donc : -3a=1 (coefficient de x²)
2a-3b=0 (coefficient de x)
b-3c=-1 (nombre restant)
Tu résouds le système et tu trouves les valeurs de a,b et c (en écrivant cela, j'ai du me tromper dans les solutions que j'avais indiqué avant... désolé ; pour c c'est 7/27)
Tu dois trouver : y'=(-x²/3-2x/9+7/27)e^x...
Pour la seconde équa diff : y''-4y'=-4
normalement, quand le second membre est un polynome, tu cherches une solution sous la forme d'un polynome de même degré, donc ici une solution particulière est un nombre : a
y'=a
y''=0
y''-4y'=0-4a=-4a
et comme on veut que ce soit égal à -4 on a y'=1
Finalement on a comme solution particulière de y''-4y'=(x²-1)e^x-4 :
y'=(-x²/3-2x/9+7/27)e^x -1
Il ne reste plus qu'à integrer pour trouver y
pour trouver une solution de y''-4y'=(x²-1)e^x :
le second membre est de la forme un polynome fois exponentielle donc la solution particulière est de la forme un polynome (du même degré que le précédent) fois exponentielle (la même que la précédente).
Donc on cherche une solution sous la forme y'=(ax²+bx+c)e^x
(j'espère que tu as compris pourquoi je prend toujours y' ; c'est valable dans ton exercice car on n'a pas de y,sinon on prend y)
Je dérive pour avoir y'' :
y''=(2ax+b)e^x+(ax²+bx+c)e^x
=(ax²+(2a+b)x+b+c)e^x
On calcule y''-4y' :
y''-4y'=(ax²+(2a+b)x+b+c)e^x-4(ax²+bx+c)e^x
= (-3ax²+(2a-3b)x+(b-3c))e^x
On cherche a,b et c pour que (-3ax²+(2a-3b)x+(b-3c))e^x=(x²-1)e^x
On prend donc : -3a=1 (coefficient de x²)
2a-3b=0 (coefficient de x)
b-3c=-1 (nombre restant)
Tu résouds le système et tu trouves les valeurs de a,b et c (en écrivant cela, j'ai du me tromper dans les solutions que j'avais indiqué avant... désolé ; pour c c'est 7/27)
Tu dois trouver : y'=(-x²/3-2x/9+7/27)e^x...
Pour la seconde équa diff : y''-4y'=-4
normalement, quand le second membre est un polynome, tu cherches une solution sous la forme d'un polynome de même degré, donc ici une solution particulière est un nombre : a
y'=a
y''=0
y''-4y'=0-4a=-4a
et comme on veut que ce soit égal à -4 on a y'=1
Finalement on a comme solution particulière de y''-4y'=(x²-1)e^x-4 :
y'=(-x²/3-2x/9+7/27)e^x -1
Il ne reste plus qu'à integrer pour trouver y
par combatlesmaths » 05 Mar 2006, 11:57
mais tu a pris (x²-1) alors que c'était (x²+1) c'est une erreur de ta part ou quoi?
par sirglorfindel » 05 Mar 2006, 12:18
c'est une erreur de ma part ... désolé
cela change les équations obtenues pour a,bet c
-3a=1 (coefficient de x²)
2a-3b=0 (coefficient de x)
b-3c=1 (nombre restant)
on trouve alors la première solution que je t'avais donné :
y'=(-x²/3-2x/9-11/27)e^x
Pour le reste,ça doit être bon
il reste toujours à calculer y en intégrant puis à ajouter la solution de l'équation homogène associée que tu avais trouvé
cela change les équations obtenues pour a,bet c
-3a=1 (coefficient de x²)
2a-3b=0 (coefficient de x)
b-3c=1 (nombre restant)
on trouve alors la première solution que je t'avais donné :
y'=(-x²/3-2x/9-11/27)e^x
Pour le reste,ça doit être bon
il reste toujours à calculer y en intégrant puis à ajouter la solution de l'équation homogène associée que tu avais trouvé
par sirglorfindel » 05 Mar 2006, 12:52
normalement oui après avoir ajouté tes solutions lambda*e^(4x)+mu*e^(0x)
par sirglorfindel » 05 Mar 2006, 13:00
aprés m'être relu (et vraiment désolé pour les erreurs) j'ai fait une autre erreur de signe sans trop de conséquences :
y'=(-x²/3-2x/9-11/27)e^x +1
Cette fois j'ai vérifié et ça marche
y'=(-x²/3-2x/9-11/27)e^x +1
Cette fois j'ai vérifié et ça marche
par combatlesmaths » 05 Mar 2006, 13:02
et au final je ne vois pas ce que ça va donner pouvez vous m'aider?
par sirglorfindel » 05 Mar 2006, 13:07
quand on intègre y'=(-x²/3-2x/9-11/27)e^x +1
on obtient x pour le +1.
Pour l'autre morceau (-x²/3-2x/9-11/27)e^x il faut faire comme avant :
la primitive est de la forme un polynome (de degré 2) multiplié par e^x :
y=(ax²+bx+c)e^x
On calcule y'=(ax²+(2a+b)x+b+c)e^x
et on identifie avec ce que tu veux trouver.
Au final, tu trouves : y=(-x²/3+4x/9-23/27)e^x+x
D'où les solutions de l'équation différentielle
y=(-x²/3+4x/9-23/27)e^x+x+lambda *e^(4x)+mu
on obtient x pour le +1.
Pour l'autre morceau (-x²/3-2x/9-11/27)e^x il faut faire comme avant :
la primitive est de la forme un polynome (de degré 2) multiplié par e^x :
y=(ax²+bx+c)e^x
On calcule y'=(ax²+(2a+b)x+b+c)e^x
et on identifie avec ce que tu veux trouver.
Au final, tu trouves : y=(-x²/3+4x/9-23/27)e^x+x
D'où les solutions de l'équation différentielle
y=(-x²/3+4x/9-23/27)e^x+x+lambda *e^(4x)+mu
par combatlesmaths » 05 Mar 2006, 13:16
je te remercie de tout mon coeur d'avoir pris la peine de m'expliquer, au moin sje comprend mieux comment résoudre des équations de ce genre, encore merci à toi!
Réponse
par big-bang » 05 Mar 2006, 19:51
Salut,
C moi qui t'as dit aprés 4h....j'ai fait un retard mais j'ai répondu sur l'autre site.
Pour résoudre on doit résoudre séparement les 2 équations : (E); y"-4y'+4=0 ===> y"-4y'=-4.....et( F); y"-4y'=(x²+1)e^x .....alors les solutions de l'équation sont celles de (E)+ celles de ( F)......DEMONSTRATION : si f est la solution de (E),g est celle de (F) on a : f''-4f'=-4 et g''-4g'=(x²+1)e^x donc on a (en faisant l'adon doit résoudre chaque équation : pour (E)....on a ,y----->A+Be^4x est une solution de y''-4y'=0.....et on cherche une solution particulière ,sous forme g(x)=ax,un calcul simple et on trouve[ a=1 ].....donc les solutions de (E)sont les fonctions définiees par : Y--------->x+A+Be^4x,avec A et B sont de réels.....dition membre à membre)(f''+g'')-4(f'+g')=(x²+1)e^x-4.....pour (F);y"-4y'=(x²+1)e^x....A+Be^x est la solution générale de F ......on cherche une solution particulière sous forma h(x)= (ax²+bx+c)e^x.....à toi de trouver a , b et c en remplaçant .sauf erreur tu les trouveras. Et enfin on fait l'addition : solutions de E + solutions de F = solutions de y"-4y'+4=(x²+1)e^x......alors sont : Y -------> 2A+2Be^x+g(x)+h(x)....FAIS ATTENTION EN CALCULANT , je ne sais pas si tu vas me comprendre ou pas mais je t'ai donné l'idée avec sa démonstration et tu peux l'utiliser avec les autres exes qui semblent à ceci....Salut
C moi qui t'as dit aprés 4h....j'ai fait un retard mais j'ai répondu sur l'autre site.
Pour résoudre on doit résoudre séparement les 2 équations : (E); y"-4y'+4=0 ===> y"-4y'=-4.....et( F); y"-4y'=(x²+1)e^x .....alors les solutions de l'équation sont celles de (E)+ celles de ( F)......DEMONSTRATION : si f est la solution de (E),g est celle de (F) on a : f''-4f'=-4 et g''-4g'=(x²+1)e^x donc on a (en faisant l'adon doit résoudre chaque équation : pour (E)....on a ,y----->A+Be^4x est une solution de y''-4y'=0.....et on cherche une solution particulière ,sous forme g(x)=ax,un calcul simple et on trouve[ a=1 ].....donc les solutions de (E)sont les fonctions définiees par : Y--------->x+A+Be^4x,avec A et B sont de réels.....dition membre à membre)(f''+g'')-4(f'+g')=(x²+1)e^x-4.....pour (F);y"-4y'=(x²+1)e^x....A+Be^x est la solution générale de F ......on cherche une solution particulière sous forma h(x)= (ax²+bx+c)e^x.....à toi de trouver a , b et c en remplaçant .sauf erreur tu les trouveras. Et enfin on fait l'addition : solutions de E + solutions de F = solutions de y"-4y'+4=(x²+1)e^x......alors sont : Y -------> 2A+2Be^x+g(x)+h(x)....FAIS ATTENTION EN CALCULANT , je ne sais pas si tu vas me comprendre ou pas mais je t'ai donné l'idée avec sa démonstration et tu peux l'utiliser avec les autres exes qui semblent à ceci....Salut
Réponse
par big-bang » 05 Mar 2006, 19:57
Salut, pour résoudre on doit résoudre séparement les 2 équations : (E); y"-4y'+4=0 ===> y"-4y'=-4.....et( F); y"-4y'=(x²+1)e^x .....alors les solutions de l'équation sont celles de (E)+ celles de ( F)......DEMONSTRATION : si f est la solution de (E),g est celle de (F) on a : f''-4f'=-4 et g''-4g'=(x²+1)e^x donc on a (en faisant l'addition membre à membre)(f''+g'')-4(f'+g')=(x²+1)e^x-4
....on doit résoudre chaque équation : pour (E)....on a ,y----->A+Be^4x est une solution de y''-4y'=0.....et on cherche une solution particulière ,sous forme g(x)=ax,un calcul simple et on trouve[ a=1 ].....donc les solutions de (E)sont les fonctions définiees par : Y--------->x+A+Be^4x,avec A et B sont de réels.....
...pour (F);y"-4y'=(x²+1)e^x....A+Be^x est la solution générale de F ......on cherche une solution particulière sous forma h(x)= (ax²+bx+c)e^x.....à toi de trouver a , b et c en remplaçant .sauf erreur tu les trouveras.
Et enfin on fait l'addition : solutions de E + solutions de F = solutions de y"-4y'+4=(x²+1)e^x......alors sont : Y -------> 2A+2Be^4x+g(x)+h(x)....FAIS ATTENTION EN CALCULANT , je ne sais pas si tu vas me comprendre ou pas mais je t'ai donné l'idée avec sa démonstration et tu peux l'utiliser avec les autres exes qui semblent à ceci....Salut.
....on doit résoudre chaque équation : pour (E)....on a ,y----->A+Be^4x est une solution de y''-4y'=0.....et on cherche une solution particulière ,sous forme g(x)=ax,un calcul simple et on trouve[ a=1 ].....donc les solutions de (E)sont les fonctions définiees par : Y--------->x+A+Be^4x,avec A et B sont de réels.....
...pour (F);y"-4y'=(x²+1)e^x....A+Be^x est la solution générale de F ......on cherche une solution particulière sous forma h(x)= (ax²+bx+c)e^x.....à toi de trouver a , b et c en remplaçant .sauf erreur tu les trouveras.
Et enfin on fait l'addition : solutions de E + solutions de F = solutions de y"-4y'+4=(x²+1)e^x......alors sont : Y -------> 2A+2Be^4x+g(x)+h(x)....FAIS ATTENTION EN CALCULANT , je ne sais pas si tu vas me comprendre ou pas mais je t'ai donné l'idée avec sa démonstration et tu peux l'utiliser avec les autres exes qui semblent à ceci....Salut.
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