Exo sur les nombres complexe

[hachette]

Bonjour,
Je voudrais que vous verifiez si ce que j'ai fait est juste ou non ^^

1. Developper: (z-2)(z-2+2i)
reponse: <=> z² - 2z + 2zi - 2z + 4 - 4i
<=> z² - 4z + 2zi - 4i + 4

2. Resoudre, dans C des nombres complexes, l'equation:
z^3 - (1-i)z² - (2 - 2i)z + 8 = 0
En notant la solution réelle a, et b et c les deux autres solutions.

Reponse:

z^3 - (z² - z²i) - (2z - 2iz) + 8 = 0
z^3 - z² + z²i - 2z + 2iz + 8 = 0
z (z² + z + zi - 2 + 2i) + 8 = 0
(x + iy) ( (x+iy)² + (x + iy) + z (x+ iy) -2 ( x + iy) + 2i) + 8 =0



Alors, je me dis que ca va etre tellement compliquer que j'ai du me tromper ^^

Si vous pouviez m'expliquer , si je me suis tromper ^^

[echevaux]

Bonsoir

1. =, pas <=>

2. Si a, b, c sont les 3 solutions de cette équation de degré 3,
alors on peut l'écrire (z-a)(z-b)(z-c)=0.
Reste à développer et identifier les coefficients

[Ericovitchi]

ca ne marchera pas echevaux, il va se retrouver avec 3 équations encore pires qu'une équation du 3 ième degré.

tu es sûr que tu ne t'es pas trompé dans la notation :
? on ne te donne aucune autre indication ?

[echevaux]

Il me semble apercevoir une solution réelle "évidente"

i.e. à chercher dans {-2; -1; 0; 1; 2}.

Un lien entre les 2 questions ?

[hachette]

Merci de m'avoir repondu^^
Pour le 1. tout a l'aire juste ?
i.e ca veut dire quoi ?
pour le 2. il n'y a pas d'autre indication.

[echevaux]

i.e. = id est (c'est à dire)

[hachette]

donc il faut que je developpe de maniere a ce que ca ressemble a
(z-a)(z-b)(z-c)=0 ?

dans la consigne il dise
en notant la solution reel a, et b et c les deux autres solutions

en fait faut que je trouve 5 valeurs ?

[Ericovitchi]

non 3 valeurs (c'est un polynôme du 3 ième degré). Il y a une racine réelle et 2 racines complexes.

En l'absence de racines évidentes, je ne vois pas d'astuces à te conseiller. Le mieux est de suivre la méthode en la ramenant à la forme puis poser z = u + v, etc...

[echevaux]

En l'absence de racines évidentes, ...

Dans le cas présent, il existe une solution réelle évidente !

[Ericovitchi]

Ha oui OK, je n'avais pas vu.
Bon on va lui donner alors : on remarque que le polynôme s'annule pour z=-2 donc mets (z+2) en facteur

[hachette]

Je ne comprend pas tres bien ^^
Pour la methode de Cardan
il faut que je developpe z^3 - (z² - z²i) - (2z - 2iz) + 8 = 0 de maniere a ce que ca ressemble a x^3+px+q ?

[Ericovitchi]

non oublies la méthode de cardan. je t'ai dis ça parce que je n'avais pas vu la racine évidente.

tu sais que z=-2 est solution donc mets (z+2) en facteur et tu seras ramené à un polynôme du second degré.

[hachette]

tu m'expliques pour le 1. là en fait ? ^^

[Ericovitchi]

non pour le 2)
le 1) il est résolu non ?

[hachette]

comment je mets en facteur x+2
je vois pas ou il faut factoriser x+2

[Ericovitchi]

Tu ne sais pas mettre z+2 en facteur dans ?

Cherches un peu, c'est assez élémentaire. Quand on en est aux nombres complexes, d'habitude on sait factoriser un polynôme.

[hachette]

je vois pas trop comment faire ^^
j'ai esayer :
z^3 - (z² - z²i) - (2z - 2iz) + 8 = 0
z^3 - z² + z²i - 2z + 2iz + 8 = 0
z(z²-z+zi-2+2i)+8=0


(z+2) [ ((z²-z+zi)/2) + ((-1+i+4)/z)]=0

[Ericovitchi]

non c'est pas comme ça.
La méthode la plus simple que je vois pour toi c'est de poser :


de développer à droite et de dire que chaque coef du membre de gauche est égal à son équivalent de droite.
Ca donne très vite a et b.

[hachette]

mais d'ou tu sors le (x+2) ?

[Ericovitchi]

Ecoutes la barbe, relis les posts, on t'a expliqué en long en large que z=-2 était une solution qui annulait le polynôme.