Sev de Mn(K)

[yos]

êtes vous d'accord cette fois avec cette affirmation?

Je ne vois pas quelle affirmation.

si u est inversible et si ||v|| < ||u|| alors u+v est inversible

Ca me semble un peu gros. Prend et v=diag(-1,0).

[Zavonen]

Je ne vois pas quelle affirmation.

l'affirmation est vraie pour les sous-espaces directeurs

Ca me semble un peu gros. Prend et v=diag(-1,0).

Il s'agit d'une inégalité STRICTE.
Suffit de démontrer que u(I+u^-1v] est inversible donc que I+w est inversible si ||w|| <1
c'est un classique.

[yos]

Il s'agit d'une inégalité STRICTE.

||I_2||²=2 et ||diag(-1,0)||²=1

[Zavonen]

Exact c'est pas la bonne norme.
Prendre ||u|| = sup ||u(x)|| pour x dans la boule unité fermée.

[yos]

prendre un vecteur de la forme Id+u où u est un vecteur de l'intersection (non vide) de F avec H.
Id+u est inversible compte tenu de la définition de H.
Projeter orthogonalement u en v et w sur la droite KId et sur F alors u et v sont inversibles, donc aussi w=u-v parce que ||v|| < ||u|| .

u est dans F et tu le projettes sur F ? Désolé je comprends rien.

[Zavonen]

u est dans F et tu le projettes sur F ? Désolé je comprends rien.

Autant pour moi u est dans la variété Id+M où M est l'intersection de F et H, ce pourquoi je peux affirmer qu'il est inversible.

[yos]

Donc tu écris . Pourquoi c'est inversible ça déjà?

Puis tu projettes ce u sur et sur F (orthogonalement). Pourquoi retrouverait-on u en additionnant ces deux projetés orthogonaux?

[Zavonen]

Je récapitule donc:
Citation initiale (modifiée)

Considérons la base canonique de Mn(R). Parmi les éléments de cette base canonique je considère les vecteurs correspondant à des matrices triangulaires supérieures strictes. Il y en a exactement (n²-n)/2. Il engendrent un sous-espace TSS de dimension (n²-n)/2 qui est exactement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes (avec des zéros sur la diagonale). De la même façon je considère les matrices de la base canonique correspondant à des matrices triangulaires inférieures strictes. Pour les mêmes raisons ces vecteurs engendrent un sous-espace TIS de dimension (n²-n)/2. Les deux sous-espaces TSS et TSI sont évidemment en somme directe. Soit H leur somme qui est donc de dimension (n²-n). Considérons la variété affine U=Id+H (Id application identique) Si on se donne un sous-espace F de dimension >n²-n il devra donc 'couper' H en un sous-espace de dimension >n²-2n .

Cela n'a pas été contesté.
Maintenant je considère F et H. Compte tenu de leurs dimensions F doit couper TIS ou TSS. L'argument qui m'avait été (justement) opposé tenait au fait que je raisonnais avec F et U (et non H).J'ai modifié ma citation en conséquence. Soit donc u un élément de la forme u=1+v avec v disons dans TIS inter F.
u est inversible (unité + triangulaire stricte)
Comme u est (en particulier) dans R1+F il est normal qu'il soit égal à la somme de ses projections sur chacun de ces sous-espaces. Maintenant soit k1 la projection de u sur R1 et w la projection de u sur F.
w=u-k1
k1 est de norme <||u||
u est inversible
donc aussi w.

[Doraki]

Il s'agit d'une inégalité STRICTE.
Suffit de démontrer que u(I+u^-1v] est inversible donc que I+w est inversible si ||w|| <1
c'est un classique.

Oui mais là la condition, c'est ||w||<1 et pas ||v|| < ||u||.
(on s'en sort pas avec ||u^-1||)

Prend u =
(1 0)
(0 x)

et v =
(1 0)
(0 -x)
avec x petit.

Sinon, F doit intersecter TIS+TSS, oui, mais a priori il n'intersecte pas l'un ou l'autre ailleurs qu'en 0. L'argument de dimensions ne marche plus.

[Zavonen]

Oui mais là la condition, c'est ||w||<1 et pas ||v|| < ||u||.
(on s'en sort pas avec ||u^-1||)

Prend u =
(1 0)
(0 x)

et v =
(1 0)
(0 -x)
avec x petit.

Sinon, F doit intersecter TIS+TSS, oui, mais a priori il n'intersecte pas l'un ou l'autre ailleurs qu'en 0. L'argument de dimensions ne marche plus.

Oui, la remarque (justifiée) a déjà été faite par Yos, j'ai changé de norme, voir plus haut.

[Zavonen]

Sinon, F doit intersecter TIS+TSS, oui, mais a priori il n'intersecte pas l'un ou l'autre ailleurs qu'en 0. L'argument de dimensions ne marche plus.

TIS et TSS sont de dimension n(n-1)/2
L'intersection de F avec H est de dimension >n²-2n
Est-il possible que F ne coupe pas TIS ou TSS en un autre point que 0?

[yos]

u est inversible (unité + triangulaire stricte)

Pas si c'est u + (triang. sup. + triang. inf.).

Comme u est (en particulier) dans R1+F il est normal qu'il soit égal à la somme de ses projections sur chacun de ces sous-espaces.

Que si tu projettes parallèlement à l'autre sev. Or tu parlais de projection orthogonale (pour quel produit scalaire?). Si c'est un lapsus, et si ta projection s'effectue "naturellement, je comprends pas mieux car tu retrouveras respectivement comme projetés, Id et l'élément m de M dont tu es parti.

[yos]

TIS et TSS sont de dimension n(n-1)/2
L'intersection de F avec H est de dimension >n²-2n
Est-il possible que F ne coupe pas TIS ou TSS en un autre point que 0?

D'après Grassmann, l'intersection de F et TIS est au moins de dimension
n(n-5)/2

[Doraki]

Soit A et B 2 matrices telles que pour tout x et y dans R,
le déterminant de la matrice xA + yB est nul.

Si K est infini, ça implique que le déterminant de la matrice M = XA + YB, à coefficients dans K[X,Y], est nul.

Donc il existe un vecteur U non nul de K[X,Y]^n tel que MU = 0.

On a alors des équations du style
Il me semble qu'en regardant un monôme de degré maximal en X de U, on en déduit que son coefficient est dans le noyau de A, et on peut répéter ça de proche en proche pour en déduire que tous les coefficients de U sont dans le noyau de A.
On peut faire la même chose pour Y et B et en déduire que tous les coefficients de U sont dans les noyaux de A et B.
Tout ça pour dire que Ker A et Ker B s'intersectent.

Et donc si F est un sev de codimension <= n qui ne contient aucune matrice inversible, il est inclus dans un truc du style {M / MV = 0} où V est un vecteur non nul de K^n.
Et par conséquent il est de codimension exactement n.

Reste le cas où K est un corps fini.

[Zavonen]

Un truc qui ne colle pas dans ma dernière mouture. Même si x appartient à F+G x n'est pas somme de ses projections orthogonales sur F et G, cela n'est vrai que si F et G sont orthogonaux, ce qui impose une contrainte supplémentaire (Yos le soupçonnait...).
Mais pour les dimensions, même sans Grassman ça a l'air de coller

[yos]

Je crois que ça marche pas :
et .

[Doraki]

Ah ben oui en effet.

Est-ce que t'as des exemples de matrices ou ça ne marche ni entre A et B, et ni entre tA et tB ?

[yos]

Oui ça m'a surpris aussi qu'avec , ça marchait!

Cela dit, je connais le résultat suivant :

si AB=BA , il y a équivalence entre :

(1) ker A et Ker B sont d'intersection triviale.
(2) Il existe un réel x tel que A+xB soit inversible.

Et je doute que l'hypothèse AB=BA soit là pour décorer.

Autre question à propos de ton raisonnement : tu obtiens des noyaux qui s'intersectent deux à deux et tu en déduis que tous les noyaux s'intersectent non??

[Doraki]

Oui c'est un autre point très douteux