Ensemble de nombres réels

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 18:56

Bonjour à tous,

Voici un exercice que j'ai fais mais dont je ne suis pas sûr de ma démarche...

On dispose d'un ensemble de nombres réels qui possède la propriété suivante : s'il contient certains nombres, il contient aussi leur moyenne.
On sait seulement que cet ensemble contient effectivement 0 et 1.

1. Montrer qu'il contient

,

et

.
=> Si cet ensemble contient 0 et 1, alors il contient également

.
En effet,

> 0 mais

[color=blue][color=red]Si n

2, alors

4 donc

> 1 et

[color=blue]

[color=red] est contenu dans l'ensmble car

> 0 et [color=blue][color=red]Si n

1, alors

est contenu dans l'ensemble.
De plus,

(fonction inverse) Donc cet ensemble contient tous les réels de la forme

où n est un entier naturel non nul et

1 [/color]

Voilà. Dites-moi s'il vous plaît si je me suis bien pris et si la méthode choisie est rigoureuse...

Un grand merci d'avance.

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 18:59

Salut.

Déjà le premier je comprends pas ta justification du fait qu'il contienne 1/4 ... Et que vient faire ici le segment [0,1] ?

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 19:03

Je pense que 1/4 = 0.25 ? non ?
Donc il est forcément dans l'ensemble puisque ce dernier contient 0 et 1.
(0.25 > 0 et 0.25 < 1). Et il est vrai qu'à priori l'intervalle que j'ai donné n'est pas bon car on en sait rien.
Qu'en pense-tu ?

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 19:34

Et en quoi le fait que l'ensemble contienne 0 et 1 implique-t-il le fait que 0,25 soit dedans?

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 19:54

Il est écrit que si l'ensemble contient certains nombres, alors ce dernier contient aussi leur moyenne.
Donc 1/4 fait partie de l'ensemble ?
Pouvez-vous m'aidez s'il vous plaît?

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 20:33

Personne pour m'aider ?
J'aimerai tellement savoir comment faire...

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 20:56

Et 1/4 est la moyenne de quels nombres qui font parti de l'ensemble?

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 21:03

1/4 est la moyenne de 0 et 0,5 (0.5 étant la moyenne de 0 et 1).
De même, 0,75 est la moyenne de 0,5 et 1.
Est-ce que c'est ça ?

Merci de me répondre Nightmare...

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 21:05

Voila c'est bien ça :happy3:

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 21:06

Ok, merci t'es très sympa...
Par contre, je n'arrive pas à justifier que 7/12 fait partie de l'ensemble.

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 21:10

Eh bien comme les autres, essaye de trouver 2 nombres qui sont dans l'ensemble et dont il est la moyenne !

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 21:20

Je sais pour l'instant que j'ai quatre nombres dans l'ensemble :
0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1.
Malgré toute ma volonté, j'ai beau à faire par exemple : (0,5 + 0,75)/2 = 0.625 puis (0.5 + 0.625)/2 = 0.5625 mais je ne retombe pas sur 7/12 (soit 0.583333...).
Peux-tu, s'il te plaît, me donner un coup de pouce ?
Merci pour tes réponses précieuses.

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 21:26

Déjà, prends l'habitude de laisser les fractions sous forme de fractions.

Ensuite es-tu sûr que ce soit 7/12 ? Ce nombre me semble pas atteignable en réalité... (Du fait que 12=2*3 et qu'on ne peut obtenir 1/3 ... ) N'est-ce pas

plutôt ?

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 21:32

Oui t'as raison, il faut que je laisse mes nombres sous forme de fraction (je le sais mais je préfère les marquer comme ça pour faire mieux comprendre mon problème).
Sinon, le nombre est bien 7/12 et j'ai effectué la même démarche que toi pour essayer de prouver qu'il était dans l'ensemble mais apparemment ça ne marche pas.
Décidément je ne comprend vraiment pas comment trouver ce nombre...

Peut-être que les autres questions pourraient nous aider à y répondre ?
Mon prof fait de temps en temps quelques erreurs, c'est peut-être aussi à cause de ça.

Merci de me répondre pour savoir ce que tu en pense.

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 21:51

Comme je te l'ai dit, 7/12 ne fait pas parti de l'ensemble, il y a donc une erreur d'énoncé.

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 21:54

Ok, bon très bien.
Peux-tu juste me dire comment prouver rigoureusement les affirmations de la seconde question ?
(Personnellement, je pense qu'il faut dresser un cas général.)

Merci à toi !

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 22:03

Tu as surement vu le raisonnement par récurrence non?

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 22:10

Je suis désolé mais je n'ai jamais vu ce type de raisonnement.
J'en ai déjà entendu parler, il me semble que c'est un raisonnement dont la propriété porte sur les entiers naturels mais je n'en sais pas plus.
Il serait peut-être judicieux d'essayer une autre méthode.

Merci de me répondre.

par **Nightmare** » 19 Mar 2009, 22:17

En quelle classe es-tu ?

par **Anonyme** » 19 Mar 2009, 22:18

Je suis actuellement en 1ère S.

Ensemble de nombres réels

Ensemble de nombres réels

Qui est en ligne