Triangle et centre cercle circonscrit

[Quidam]

Bonjour à tous !

Il ne s'agit pas vraiment d'une énigme. Je suis en train d'aider - enfin, justement, j'ai du mal - un forumeur sur un autre site à résoudre un problème qu'il s'est posé.

Dans un premier temps il a demandé quelle était la probabilité que le centre du cercle circonscrit à un triangle soit intérieur au triangle, sans autre précision.

Je lui ai alors répondu que cela dépendait de la manière dont "il tirait au sort" son triangle. Par exemple, il peut choisir trois points d'une zone prédéfinie (un carré, un rectangle, un disque). Mais il peut aussi choisir les trois dimensions de ses côtés, ou encore choisir trois dimensions de somme donnée, etc...Et ainsi, la réponse à sa question va certainement différer selon ses choix.

On en est donc venu à préciser. Il trace un cercle. Puis choisit trois points sur le cercle au hasard, indépendamment les uns des autres. Et il veut savoir la probabilité que le centre du cercle soit intérieur au triangle.

J'ai trouvé 1/4.

Mais, j'ai fait une simulation sur mon PC et les statistiques obtenues sont bizarres.

J'ai d'abord défini l'algorithme comme suit :

Je suppose que le premier point est en 0 (il s'agit de l'angle de avec une direction fixe Ox). Je tire au sort un nombre compris entre 0 et et un nombre compris entre 0 et : ces valeurs sont censées être les mesures des angles et . Je renomme ces trois valeurs pour avoir trois nombres dans l'ordre croissant . Les angles au centre correspondants sont donc , et . Ensuite je me contente de tester si l'un de ces trois angles au centre est plus grand que : si oui le centre est extérieur au triangle, sinon, il est intérieur.

Mes statistiques donnent de manière très régulière une proportion de triangles dont le centre du cercle leur est intérieur voisine de 0.222 soit 2/9 !

Ah tiens, aurais-je fait une erreur ? Mes calculs théoriques persistent et signent : je continue à trouver 1/4 !

J'ai alors fait un deuxième programme, où, sans supposer que le premier point avait un angle 0 avec Ox, je choisissais trois nombres entre 0 et , je les rangeais en ordre croissant, je les appelais , et et ensuite je calculais mes angles au centre , et et finalement je déterminais si le centre du cercle était intérieur ou pas au triangle.

Et là, je ne comprends pas pourquoi, les statistiques donnent, toujours de manière très régulière, une proportion de 0,248 beaucoup plus proche du nombre 1/4 trouvé de manière théorique. Je suis quand même un peu perturbé par le fait de ne pas obtenir un nombre plus proche que cela de 0,250 ; mais on peut penser que la fonction de tirage de nombres aléatoire que j'utilise n'est pas parfaite. Ce qui me chiffone le plus, c'est qu'a priori j'avais pensé que les deux méthodes devaient donner exactement le même résultat. Comme il n'en est rien, je viens demander si quelqu'un a une explication.

Merci d'avance de votre aide !

[Patastronch]

Je suis pas d'accord avec ton 1/4.

Je trouve une proba de 7/32.

Apres je me plante peut-etre.

Je détaillerai plus ce soir , j'ai pas trop le temps la et il faudrait que je fasse une figure pour etre clair.

[Quidam]

Je suis pas d'accord avec ton 1/4.

Je trouve une proba de 7/32.

Apres je me plante peut-etre.

Je détaillerai plus ce soir , j'ai pas trop le temps la et il faudrait que je fasse une figure pour etre clair.

Super Patastronch ! C'est bien proche de mes statistiques 0.222... Mais il faudra que tu m'expliques !

Egalement, je rappelle que je voudrais comprendre pourquoi mes deux calculs statistiques diffèrent, pourquoi les deux expériences sont différentes ! Il semble que ça me dépasse !

[Patastronch]

Egalement, je rappelle que je voudrais comprendre pourquoi mes deux calculs statistiques diffèrent, pourquoi les deux expériences sont différentes ! Il semble que ça me dépasse !

il estpossible que tes methodes de tirages ne donennt pas autant de chance a chaque triangle d'etre tiré. Comme ca je vois pas trop pourquoi, mais je doute que ce soit la fonction rand de ton ordi qui foire, elles sont générallement bien foutu.

[nodgim]

Tout ça dépend de la manière dont on construit le triangle. La règle est qu'un cercle circonscrit a son centre à l'intérieur d' un triangle acutangle. Si je décide de construire mon triangle à partir d'un segment donné (les 2 premiers points) et le 3ème point n'importe où dans le plan, que devient cette probabilité ? Elle tend vers...zéro!

[Patastronch]

Si je décide de construire mon triangle à partir d'un segment donné (les 2 premiers points) et le 3ème point n'importe où dans le plan, que devient cette probabilité ? Elle tend vers...zéro!

Je vois pas pourquoi elle tendrait vers 0 ...
De toute facon, le cercle est fixé, on entre donc pas dans ton cas (que je ne comprends pas trop au passage).

[nuage]

Salut Quidam,
je viens d'essayer ta première méthode de simulation.
Elle me donne des résultats qui sont tous compatibles avec une probabilité de 1/4 :
Sur 30000 tirages, ce qui correspond à un écart-type de 0,005, j'obtiens :
0,249 ; 0,254 ; 0,250 ; 0,250
la dispersion est un peu faible mais je n'ai fait que 4 séries.
Il doit y avoir un problème dans ton premier programme.

[Imod]

Je vois pas pourquoi elle tendrait vers 0 ...
De toute facon, le cercle est fixé, on entre donc pas dans ton cas (que je ne comprends pas trop au passage).

En fixant le segment bleu , il faut choisir le troisième point dans la partie jaune pour obtenir un triangle acutangle , la probabilité est nulle . Mais bon , ce n'est pas le problème de Quidam .


Imod

[nuage]

En fixant le segment bleu , il faut choisir le troisième point dans la partie jaune pour obtenir un triangle acutangle , la probabilité est nulle . Mais bon , ce n'est pas le problème de Quidam .
Imod

Salut,
la probabilité tend vers zéro quand le coté du carré tend vers l'infini.
Mais l'équiprobabilité sur ...
Disons que c'est délicat.

[Patastronch]

Super Patastronch ! C'est bien proche de mes statistiques 0.222... Mais il faudra que tu m'expliques !

Bon ben je trouve 1/4 en fait en refaisant les calculs. Je procede de la sorte :
Je place les 2 premiers points n'importe ou sur le cercle. L'angle <180 degré formé par un point le centre et le second point permet de definir la zone dans lequel il faut placer le 3 eme point (le secteur opposé) pour que le centre du cercle soit dans le triangle. A coup de quelques integrales on finit par trouver 1/4 et non 7/32 comme je l'affirmais plus haut.

[Doraki]

Si on place 3 diamètres au hasard sur le cercle et qu'on regarde les 8 triangles obtenus en choisissant un point d'intersection sur chaque diamètre,
il y a 6 triangles qui ne contiennent pas le centre du cercle et 2 qui le contiennent.

Et ça ça montre que la probabilité qui vous intéresse est bien 1/4.

[Quidam]

J'ai trouvé le problème.

Tout d'abord, merci à vous tous. Comme l'a sugggéré nuage, il y avait bien un problème dans mon premier programme...mais aussi dans le deuxième ! L'effet du problème était simplement différent sur les deux programmes.

Il s'agit bien de la fonction random. J'utilise habituellement C++ Builder pour mes programmes, et, curieusement, le logiciel ne me propose pas de fonction aléatoire donnant des réels ; elle ne propose qu'une fonction fournissant des entiers entre 0 et N-1 si je lui donne N (euh,...en tous cas je n'ai pas trouvé de fonction aléatoire donnant des réels). Résultat, pour "tirer au sort", je suis contraint de fournir un nombre N (le plus grand possible, bien sûr) et de diviser le résultat par N pour obtenir un réel dans [0;1[. Mais ceci a pour conséquence, comme les entiers sont limités par , que les tirages possibles de mes angles ne sont pas assez nombreux. Je pense, sans l'avoir vérifié, qu'il s'agit bel et bien d'un artefact dû à cette utilisation d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires entiers.

Après avoir installé mon propre générateur qui fournit un réel ( nombres possibles cette fois) j'obtiens le même résultat dans les deux programmes, très proche de 1/4.

J'ai essayé les deux :

Premier programme :

Sur 2 000 000 000 tirages dans 500 003 763 cas, le centre était intérieur au triangle
et dans 1 499 996 237 cas il était extérieur ! Fréquence mesurée : 0.25000188

Deuxième programme :
Sur 2 000 000 000 tirages dans 499 977 575 cas, le centre était intérieur au triangle
et dans 1 500 022 425 cas il était extérieur ! Fréquence mesurée : 0.24998879

Que je me sois trompé dans le calcul théorique, cela ne me gênait pas trop. Mais c'est le fait que les deux programmes ne fournissaient pas la même réponse qui me perturbait au plus haut point !

Merci à tous donc : la probabilité est bien 1/4 !

[Quidam]

Si on place 3 diamètres au hasard sur le cercle et qu'on regarde les 8 triangles obtenus en choisissant un point d'intersection sur chaque diamètre,
il y a 6 triangles qui ne contiennent pas le centre du cercle et 2 qui le contiennent.

Et ça ça montre que la probabilité qui vous intéresse est bien 1/4.

Chapeau !

Après avoir douté de l'exactitude de ta démonstration, je suis à présent convaincu qu'elle est bonne, et par conséquent elle surpasse la mienne (qui fait une intégrale) par son extrême élégance et sa concision.

Bien qu'elle soit bonne à mon sens, elle me paraît cependant un peu difficile à justifier.

Très jolie en tous cas !

Merci de ta contribution !

[yos]

Je vois pas trop le rapport entre les diamètres de Doraki et le problème initial. Si lui-même ou quelqu'un pouvait expliciter...

[Doraki]

On trace 3 diamètre AA' BB' et CC' sur le cercle.
Par exemple orientés comme ça quand on parcourt le cercle :
A,B,C,A',B',C'.

On voit rapidement que les 6 triangles ABC, BCA', CA'B', A'B'C', B'C'A, et C'AB ne contiennent pas l'origine.
Et en revanche, AB'C et A'BC' contiennent l'origine.
(on peut dire ça rapidement avec des barycentres sachant que les autres ne le contiennent pas)

Par conséquent sur les 8 triangles obtenus, y'en a 1/4 qui contient le centre.

Et entre tirer un triangle au hasard en choisissant 3 points au hasard ; ou en choisissant 3 diamètres puis en choisissant au hasard l'un des 8 triangles obtenus, il ne devrait pas y avoir de grosse différence.


Pour une preuve plus précise de pourquoi ça implique que p = 1/4,
on considère l'action du groupe G engendré par les transformations (x -> -x) (y -> -y) (z -> -z) (isomorphe à (Z/2Z)* etc) sur l'ensemble des triangles T (qui ne sont ni aplatis ni rectangles)

Pour peu que la mesure de probabilité est invariante par G (si votre manière de tirer au hasard ne l'est pas, ben vous êtes bizarre), et pour peu que la probabilité de tirer un triangle rectangle ou aplati est nulle, alors on peut quotienter par G :

Dans notre cas, on a vu que dans l'orbite d'un triangle, y'en a toujours 2 sur 8 qui contiennent le centre du cercle, donc pour notre X,
Donc

[ffpower]

:jap: Tres belle preuve..

[yos]

Merci pour les détails.

Et entre tirer un triangle au hasard en choisissant 3 points au hasard ; ou en choisissant 3 diamètres puis en choisissant au hasard l'un des 8 triangles obtenus, il ne devrait pas y avoir de grosse différence.

C'est de ce point dont je dois me convaincre.
Il y a quand même un protocole particulier. Voir qu'il équivaut à la loi ne me saute pas aux yeux.

Ainsi, choisir un élève au hasard dans une classe c'est pas choisir une paillasse, puis un des élèves de la paillasse.

Je ne doute pas de la validité de ton truc. c'est mon degré de compréhension qui est en cause.

[Patastronch]

Ainsi, choisir un élève au hasard dans une classe c'est pas choisir une paillasse, puis un des élèves de la paillasse.

Si chaque paillasse est disjointe et de cardinal egal et que chaque élève est dans une paillasse ca reviens au meme si. Et c'est le cas des paillasses de Doraki.

[zepem]

On voit rapidement que les 6 triangles ABC, BCA', CA'B', A'B'C', B'C'A, et C'AB ne contiennent pas l'origine.
Et en revanche, AB'C et A'BC' contiennent l'origine.
mais les autres triangle comme par exemple ABA' , pourquoi ils ne sont pas important ?
merci de mexpliquer si possible

[Doraki]

La procédure est de choisir 3 diamètre, puis 1 point sur chaque diamètre, et pas 2 du même diamètre.

AA'B est dans une autre classe que les 8 autres triangles, il est dans la classe des triangles qu'on a en choisissant les diamètres AA', AA' et BB' ; et pas les diamètres AA', BB' et CC'.