Utilisation du TVI avec les dérivées (Bardou)

[Krys933]

bonsoir à tous,

pourriez vous m'expliquer cet exercice:

f dérivable sur [a,b] telle que f'(a)f'(b)0 et f'(b)<0
f dérivable sur [a,b] donc y est bornée et y atteint ses bornes...

je ne vois pas comment faire, si vous pouviez me montrez le raisonnement :d

merci d'avance

[Monsieur23]

Aloha ;

f juste dérivable ? ( pas C1 ? )

[ThSQ]

C'est Darboux et par Bardou !

C'est pas interdit de chercher ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Darboux_(analyse) )

[Clembou]

C'est Darboux et par Bardou !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Darboux_(analyse)

Je me disais aussi lol Il ne s'appelle pas Michel, par hasard ?

[Joker62]

Non ça c'est Michel Sardou, c'est autre chose encore !
Ca se voit en Master :D

[Nightmare]

hola todo el mundo !

Monsieur23 > Si f était C1, le théorème de Darboux ne serait autre que le TVI :lol3:

[Krys933]

je suis désolé pour la confusion, on m'a dit le nom à l'oral je l'avais mal entendu :s...
euh sinon vous pouvez m'expliquer pour le cas que j'ai demandé parce que je suis pa sensé connaitre darboux...

[Nightmare]

Pour démontrer Darboux, on peut utiliser le fait qu'une application continue et injective est strictement monotone.

[leon1789]

Comme quoi une fonction dérivable est presque ...

[Nightmare]

C'est pas nouveau :D

Il me semble aussi pour Darboux qu'on peut y aller à coup de topologie, on montre que l'ensemble des f'(x) est connexe (on montrant qu'il est dans un certain intervalle et qu'il contient un connexe mais qu'il est contenu dans l'adhérence de ce dernier)

[Monsieur23]

Monsieur23 > Si f était C1, le théorème de Darboux ne serait autre que le TVI

Ben oui, c'est pour ça que je posais la question ( je ne connaissais pas le théorème de Darboux, et une recherche sur le théorème de Bardou ne donnait rien :ptdr: ). Ça aurait été facile.

J'm'endormirai moins bête ce soir au moins ! :happy2:

[Krys933]

Je suis en mpsi , donc avec des notions de mpsi ca serait cool :d (lol je comprend bien que c'est pas simple de se priver de certain outils)

[Nightmare]

Alors on peut utiliser ma première idée.

Supposons que f' ne s'annule pas.

f est alors injective sur [a,b], sinon on a une contradiction avec le théorème de Rolle.
De plus f est continue.
Une fonction continue et injective est strictement monotone. Conclusion f' est de signe constant. Contradiction avec l'énoncé.

[Krys933]

tu peux détailler s'il te plait Nightmare?

[Nightmare]

Bien sûr :happy3: Dis moi juste ce qui tu as besoin que je précise !

[leon1789]

Autre méthode, mais directe.

Quitte à multiplier f par -1, on peut supposer f'(a) 0 (car la limite est f'(b)>0)
donc f(x)-f(b)<0 donc f(b) n'est pas le minimum.

Donc , et donc f'(c)=0 (car minimum à l'intérieur de ]a,b[)

[Nightmare]

Joli aussi leon1789 !

[yos]

J'ai connu une Brigitte Bardou, mais elle faisait pas de maths.

Une fonction continue et injective est strictement monotone.

Elle est bien cette preuve Nightmare. Le seul point pas tout à fait évident est celui-là.
Je connaissais celle que donne Léon; l'argument final revient à dire que f est pas injective et on retombe un peu sur l'autre preuve.

[leon1789]

Je connaissais celle que donne Léon; l'argument final revient à dire que f est pas injective et on retombe un peu sur l'autre preuve.

Je me suis trompé en disant Rolle : en fait, c'est simplement f'(c)=0 car c est un minimum !
donc pas de fonction injective, monotone, pas de Rolle.

[Nightmare]

Salut yos :happy3:

Oui effectivement, si l'on admet pas ce théorème, ça complexifie largement la preuve ! D'ailleurs il y a aussi une jolie preuve pour ce résultat qui est me semble-t-il de considérer l'application continue définie sur le triangle convexe (donc connexe) . L'image du triangle est connexe et ne contient pas 0 par injectivité donc elle est soit contenue ]0;+oo[, soit dans ]-oo;0[.

:happy3: