Les suites

[Laura91]

Bonjour !

Je suis en prépa BCPST et j'ai un devoir sur les suites.

Il y a plusieurs questions auquelles je n'arrive pas à répondre.

Par gain de temps et de clarté, je préfère vous envoyer directement sur une page internet contenant ce sujet sur les suites.

http://cagrafeuil.googlepages.com/DL5ch7.pdf

Commençons par le premier exercice :

J'ai réussi les deux premières questions, mais je bloque sur la troisième. J'arrive à trouver des liens mais pas à montrer explicitement cette inégalité.

Sinon, j'ai trouvé un résultat pour la question n°5 :

Vn = 1 + (n/2^n)
mais je ne suis vraiment pas sûre, et puis je n'arrive pas à trouver la limite de Vn.

Pouvez-vous m'aider ?

Merci

Laura

[The Void]

Salut,

Pour la 3), tu peux écrire un= (un-un-1) +(un-1-un-2)+...+(u1-u0)
Et utiliser l'inégalité du 2 sur chacun des termes.

Pour la 5) l'égalité que tu proposes me semble fausse: cela impliquerait l=1 alors que un>=1 et est croissante.
Ecris simplement vn=v0+somme 1/2^k puis utilises la formule donnant la somme d'une suite géométrique.

[Laura91]

Un grand merci pour la question 3) !

Par contre, je ne comprends pas ta réponse pour la question 5)

Je t'explique ce que j'avais fait (j'étais pourtant tellement contente d'avoir trouvé quelque chose ... :ptdr: :hum: )

On sait que Vn = (Un)²

J'ai cherché Vn+1 : Vn+1 = (Un+1)² = Un² + 1/(2^n)
Donc Vn+1 = Vn + 1/(2^n)
J'en ai donc conclu que Vn est une suite arithmétique de raison 1/(2^n), donc que Vn = Vo + n/(2^n)

Je ne comprends pas mon erreur.

Sinon, je ne comprends pas pourquoi on peut écrire que Vn = Vo + somme 1/2^k et encore moins en quoi cela montre que c'est une suite géométrique.

Merci encore

[Laura91]

Petite rectification pour la question 3.

Si on écrit Un = (un-un-1) +(un-1-un-2)+...+(u1-u0)
après simplification ça nous donne Un = Un - Uo


???

[The Void]

De rien

Petite rectification pour la question 3.

Si on écrit Un = (un-un-1) +(un-1-un-2)+...+(u1-u0)
après simplification ça nous donne Un = Un - Uo


???

Euh oui je voulais dire Un = (un-un-1) +(un-1-un-2)+...+(u1-u0) + u0, désolé!

Donc Vn+1 = Vn + 1/(2^n)
J'en ai donc conclu que Vn est une suite arithmétique de raison 1/(2^n), donc que Vn = Vo + n/(2^n)

Pour avoir une suite arithmétique, il faut que la raison soit constante.
Ici ce n'est pas le cas, et je te proposais tout simplement d'écrire Vn=(Vn-1)+1/2^(n-1)=(Vn-2)+1/2^(n-2)+1/2^(n-1)=...= Vo + somme 1/2^k
(A chaque fois je réutilise la formule Vn+1=Vn+1/2^n, jusqu'à 0).
Ensuite, 1/2^n est une suite géométrique de raison 1/2 (indépendant de n :++: ) et il y a une formule pour calculer la somme d'une suite géométrique.

Pour la fin du problème 1, tu peux noter Un = l + Wn puis remplacer Un par cette expression dans la formule de récurrence, et refaire la même astuce qu'avant (utiliser une suite auxilliaire (Vn), en trouver un équivalent, et finalement un équivalent de Wn).

Bon courage