Espace de Banach

[Hyp]

Bonjour à tous,

Je veux montrer que E= C([0,1],IR) muni de la norme infinie, est un Banach.

Une première étape (imposée par l'exo) est de montrer que toute suite de Cauchy de E converge dans IR.

On a donc à partir d'un certain rang :

(avec n>p)

Puis je bloque, j'ai essayé d'intercaler f(a) (a un point de [0,1]) mais ça ne m'avance à rien.

Une indication svp ?

Merci pour votre réponse.

[mathelot]

bjr,


pour x fixé, l'inégalité montre que
est une suite de Cauchy. Ceci donne la convergence simple.


on pose

Il suffit ensuite d'utiliser l'inégalité triangulaire pour majorer



et montrer ainsi la continuité de la limite f.

[rollin]

J'ai regardé un peu et je vois pas comment majoré??

[Joker62]

f(x) - f(x0) = f(x) - fn(x) + fn(x) - fn(x0) + fn(x0) - f(x0)