Trouver 3 réels a, b et c

[Lucas74]

Bonjour, j'ai une question d'un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

On considère la fonction f définie, sur R\{-3;0}, par :
f(x) = (-2x² + 1) / (x² + 3x)

1) Etudier les variations de f. J'ai réussi cette question bien entendu, en utilisant la fonction dérivée.

2) Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout réel x différent de 0 et de -3, on ait : f(x) = a + b / x + c / (x + 3).
Je suis bloqué à cette question, j'ai tout essayé mais je n'y arrive pas, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? Merci.

[La Boule]

Je pense qu'il y a un problème dans la 2ème question. Pourrais tu réecrire f(xà en fonction des réels a,b et c car je pense qu'elle n'est pas correcte. Ce ne serait pas ax²+bx+c/(x+3) plutot ?

[Lucas74]

Salut, non, la question 2) est bien :

a + ( b / x ) + ( c / ( x + 3 ) ) = f ( x ).

Il faut trouver ces 3 réels a, b et c, sachant que x est différent de 0 et de -3.

[La Boule]

De rien Lucas j'avais mal regardé ne t'inquiète pas je vais jeter un oeuil a ça.

Edit : Met ta forme sous le même dénominateur, dévellope puis rassemble tt ce qui est en x² d'un côté, en x de l'autre et les constantes également, factorises, puis procède a une identification. Cela de permettra d'avoir un système a 3 inconnues qui se resout très facilement.

[Lucas74]

Je fais donc le calcul suivant :

(-2x² + 1) / (x² + 3x) = a + b / x + c + (x + 3)

<=> (-2x² + 1) / (x² + 3x) = (ax² + a x 3x + bx + 3b + cx) / (x² + 3x)
<=> (-2x² + 1) / (x² + 3x) = (ax² + x (3a + b + c) + 3b) / (x² + 3x)

Mais arrivé là je suis bloqué; je ne sais pas comment résoudre le système parce que je n'ai pas d'autres équations :( ...

[Jess19]

je te fais confiance sur les calculs que t'as fait je vérifie pas !!

tu sais que
f(x) = (-2x² + 1) / (x² + 3x)

et toi t'as trouvé f(x) = (ax² + x (3a + b + c) + 3b) / (x² + 3x)

donc il suffit que
a = -2
3a+b+c = 0
3b = 1

[Lucas74]

tu es sûr de ça, je n'ai même pas besoin d'expliquer ? Il n'y a pas moyen d'utiliser un système pour justifier ça? Parce que mon prof de maths, bon...

[Jess19]

oui je suis sure de ça !

[La Boule]

Si tu veux justifier tu sors la phrase magique : Par identification des coefficients du polynôme nous pouvons écrire : a = -2 etc.