DM équations différentielles

par **sun-wars** » 08 Fév 2008, 19:13

bonjours a tous! d'habitude je fais mes DM seuls mais là j'avoue que cet exercice est plutôt bizard je trouve... c'est un exercice sur les équations différentielles mais il faut trouver les équations nous même à partir d'un énoncé sur la désintégration des corps radioactifs... j'avoue que ça me perturbe ^^
je vous poste l'exercice vous en jugerez par vous même ;)

"Un corps radioactif se désintègre en transformant une partie de ses noyaux. On désigne par N(t) le nombre de noyaux à l'instant t (t est le temps exprimé en jours). On peut établir que la fonction N est solution de l'équation N'=-yN où y est un réel positif appelé constante radioactive du corps.
1) Soit No le nombre de noyaux à l'instant t=0. Déterminer N(t) en fonction de No, y et t.
2) On appelle période ou demi vie du corps radioactif le temps T au bout duquel le nombre d'atimes de ce corps a diminué de moitié.
a) prouver que e(yt)=2.
... "

Il y a encore plusieurs questions mais je bloque à la question 2.a) donc pas besoins de poster le reste pour l'instant ^^

pour la question 1) je trouve N=C*e(-yt) avec C une constante quelconque et puisque N(t=0)=No alors N=No*e(-yt).
par contre pour la 2a) .... je sèche
je trouve que NT= 1/2No mais ensuite vous pouvez m'aider? ou me donner une piste ^^

merci d'avance et bonne soirée!

par **Sa Majesté** » 08 Fév 2008, 19:16

sun-wars a écrit:pour la question 1) je trouve N=C*e(-yt) avec C une constante quelconque et puisque N(t=0)=No alors N=No*e(-yt).

OK pour N(t)=C*e(-yt) avec C une constante
Mais N(t=0)=No donne No=C car e(-yt)=1 pour t=0
Ceci devrait t'aider pour la suite

par **sun-wars** » 08 Fév 2008, 19:24

oui je n'avais pas fais le rapprochement entre No=N à t=0 et e(-yt)=1 pour t=0
donc pour le temps de demi vie on a N=1/2No donc e(-yt)=1/2?
mais je ne vois pas comment passer de e(-yt)=1/2 à e(yt)=2...
j'ai du rater quelquechose non?

par **sun-wars** » 08 Fév 2008, 19:50

c'est bon j'ai trouvé! merci quand meme ^^

ensuite il faut justifier qu'il existe un nombre réel unique a tel que e(a)=2.
Je sais qu'il faut existe une seule solution a cette équation car la fonction exponentielle est continue et strictement croissante mais à ce genre de question je n'ai jamais les points en contrôle... (ca m'énerve d'ailleurs ^^)
ca ne suffi pas de dire que la fonction est dérivable, continue et monotone pour répondre?

par **sun-wars** » 08 Fév 2008, 20:31

désolé d'insister mais c'est pour demain à la 1ère heure...

par **Sa Majesté** » 08 Fév 2008, 20:56

sun-wars a écrit:désolé d'insister mais c'est pour demain à la 1ère heure...

Tu as au moins le mérite de ne pas être exigeant ! :we:
La fonction exp est strictement croissante sur R à valeurs dans ]0,+oo[
C'est une bijection de R sur R+*
Et comme 2 est dans R+* il existe un unique réel a tel que e^a=2

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