Récurrence Ts

par **djo10** » 15 Sep 2007, 12:22

voila j'ai cet exercice à faire et j'aimerais savoir ce que vous pensez de ma réponse

On pose Tn=5 +3* 4^(n+2) +10^n où n est un entier naturel.
Démontrer par récurrence que la propriété " Tn est divisible par 9" est vraie pour tout entier naturel n

Ma réponse :

Soit Tn, pour tout n N, divisible par 9 :

1ère étape : t0 = 5 +3*4^2 +10^0
= 54 or 54 est divisible par 9 donc Tn est vraie au rang 0.

2ème étape : Soit k N, supposons Tn vraie au rang k

Ici ,j'ai calculé la différence Tk+2 - Tk+1 et à la fin je trouve

Tk+2 - Tk+1 = 4^k (576)+ 10^k (90) ce qui est divisible par 9.

J'ai fait cela un peu à taton et je ne suis pas du tout sûr que ce soit comme cela. Pouvez-vous me confirmer??

Merci d'avance

par **djo10** » 15 Sep 2007, 17:26

je pense mettre tromper

a mon avis, il faut calculer Tk+1 = 5+ 3*4^k+3 + 10^k+1
= 5+3* 4^k* 4^3 +10^k*10

et il faut retrouver dans cet expression la celle du départ 5+3*4^k+2 +10^k

mais je n'y arrive pas

pouvez vous m"aider??

par **djo10** » 15 Sep 2007, 23:46

un peu d'aide???

par **rene38** » 16 Sep 2007, 00:25

djo10 a écrit:a mon avis, il faut calculer
Tk+1 = 5+ 3*4^k+3 + 10^k+1
= 5+3* 4^k* 4^3 +10^k*10

Presque :

Reste à distribuer sur les parenthèses et à isoler

pour obtenir

PS : Attention, tu écris "Tn est vraie".
Tn n'est pas une propriété (vraie ou fausse), c'est un nombre.
Ecris "Tn est divisible par 9 est vrai"

par **djo10** » 16 Sep 2007, 13:05

alors j'avais pensé à décomposer comme vous me le proposez mais je ne sais pas pourquoi je ne suis pas allé au bout de mon idée. Si je suis ce que vous me dites , je trouverai

Tk+1 =5+3*4^(k+2)* 4+10^k*10

= 5 +3*4^(k+2)*(1+3) +10^k*(1+9)

= 5 +3 *4^(k+2) +4^(k+2)*3 + 10^k +10^k *9

= 5 +3*4^(k+2)+10^k + 4^(k+2)*3 +10^k*9

= Tk +4^(k+2)*3 + 10^k *9

et je trouve
Tk+1 = Tk +9( ((4^(k+2))/3) +10^k)

est ce ceci???

par **djo10** » 16 Sep 2007, 13:46

pensez que ce soit cela??

par **djo10** » 16 Sep 2007, 18:20

juste une confirmation svp??

par **djo10** » 17 Sep 2007, 17:58

svppp, pouvez me confirmer si c'est bien cela??? svp

par **emdro** » 17 Sep 2007, 18:11

djo10 a écrit:Tk+1 =5+3*4^(k+2)* 4+10^k*10

= 5 +3*4^(k+2)*(1+3) +10^k*(1+9)

= 5 +3 *4^(k+2) +4^(k+2)*3 + 10^k +10^k *9

= 5 +3*4^(k+2)+10^k + 4^(k+2)*3 +10^k*9

= Tk +4^(k+2)*3 + 10^k *9

et je trouve
Tk+1 = Tk +9( ((4^(k+2))/3) +10^k)

est ce ceci???

Ce n'est pas plutôt 5 +3*4^(k+2) +3^2*4^(k+2) +10^k+9*10^k ?

Et c'est encore plus simple puisque cela donne:
(5 +3*4^(k+2) +10^k)+9*(4^(k+2)+10^k)
Et comme (HR) la première parenthèse est multiple de 9, le deuxième terme étant clairement multiple de 9, c'est fini.

par **djo10** » 17 Sep 2007, 18:59

je pense que nOn puisque ton 3^2 vient de nul part... quelqu'on pour confirmer?

par **emdro** » 17 Sep 2007, 19:15

Tu es drôle:

et le 3 qui est en facteur devant?

Pour ton info, je suis prof en TS, et à part fatigue excessive, je sais encore développer

par **djo10** » 17 Sep 2007, 20:09

Je ne remets pas en cause le fait que vous soyez prof mais ce que je ne comprends pas, cest que lorsque l'on a :

Tk+1 =5+3*4^(k+2)* 4+10^k*10

= 5 +3*4^(k+2)*(1+3) +10^k*(1+9)

= 5 +3 *4^(k+2) +4^(k+2)*3 + 10^k +10^k *9

= 5 +3*4^(k+2)+10^k + 4^(k+2)*3 +10^k*9

c'est d'où vient le 3² dans l'expression 4^(k+2)*3 puisque ce qui est en gras représente Tk ( ce qui est dans l'énoncé)

par **djo10** » 17 Sep 2007, 20:26

ah oui excusez -moi je viens de me rendre compte de mon erreur, le 3 multiplie tout.

merci beaucoup , bonne continuation

par **emdro** » 17 Sep 2007, 20:27

3*4^(k+2)*(1+3)=3*4^(k+2)*1+3*4^(k+2)*3 (distribution)
=3*4^(k+2)+3*3*4^(k+2) (l'ordre dans la multiplication ne compte pas)
=3*4^(k+2)+3²*4^(k+2)

par **emdro** » 17 Sep 2007, 20:28

djo10 a écrit:ah oui excusez -moi je viens de me rendre compte de mon erreur, le 3 multiplie tout.

merci beaucoup , bonne continuation

Super! bonne continuation à toi en TS, et à+ sur le forum.

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