Rayon de convergence! [Oral ENS]

par **leibniz** » 08 Juin 2007, 16:15

Bonjour,

Quel est le rayon de convergence de la série

? avec x irrationnel.

Merci d'avance.

par **yos** » 08 Juin 2007, 18:10

te donne

par **abcd22** » 08 Juin 2007, 19:34

Bonjour,
Intuitivement je dirais que c'est 0, mais je n'en suis pas sûre. Si on prend un

, la série de terme général

diverge grossièrement pour

.
Pour

je voudrais montrer la même chose mais ce n'est pas évident. On peut se limiter au cas où

avec p entier, on est alors ramenés à prouver que

ne tend pas vers l'infini quand n tend vers l'infini. Ça semble assez logique avec la densité de

dans [-1;1], le problème c'est que si on choisit un N pour avoir un sinus petit on va multiplier par une puissance de p qu'on ne contrôle pas après...
Il suffirait de prouver :

(le choix de Pi étant assez aléatoire), en utilisant la

-périodicité de |sin| et

pour t positif, on obtient qu'il suffirait de prouver

(où les crochets désignent la partie entière). Bon j'ai reformulé mais on a toujours la difficulté citée plus haut qui gêne...

par **emdro** » 08 Juin 2007, 19:53

J'ai exactement la même intuition ... et les mêmes difficultés!

par **emdro** » 08 Juin 2007, 20:04

abcd22 a écrit: prouver que ne tend pas vers l'infini quand n tend vers l'infini.

En prenant une autre direction, dire que

est la partie imaginaire de (p exp(i Pi x))^n ne pourrait pas aider?

par **Yipee** » 08 Juin 2007, 20:16

C'est un bel exercice. Dommage que je n'ai pas le temps ce soir et que l'un de vous risque de trouver avant moi.

Je donne juste l'autre piste à laquelle j'ai pensée car la densité du sinus me parait difficile à utiliser et cela même en utilisant l'équirépartition. Je me demandais si une transformation d'Abel et un peu de trigo ne pourrait pas mettre sur la voie. Mais j'ai juste réussi à ecrire cela comme somme d'une suite divergente et d'une série divergente. Peut-être que vous allez avoir plus de chance...

par **abcd22** » 08 Juin 2007, 21:18

J'avais aussi pensé à une transformation d'Abel mais je n'ai pas essayé, ça marcherait mieux avec un sinus au numérateur je pense.

par **abcd22** » 08 Juin 2007, 21:21

Peut-être qu'un raisonnement par l'absurde marcherait mieux qu'un raisonnement direct pour montrer que

| ne tend pas vers l'infini...

par **yos** » 09 Juin 2007, 15:02

C'est un fait, il y a un os.
On peut simplifier la forme de la question sans que ça affecte le sens du problème (par exemple en fixant x=1/pi) :
La limite de

est-elle

?
Comme l'a dit abcd22, pour avoir sin n voisin de 0, il faut aller chercher n assez loin et en attendant le

s'envole ; quid du produit des deux? Je ne parviens pas à être convaincu que R=0, c'est-à-dire que pour moi ce produit peut bien tendre vers l'infini.
Et si ce n'est pas le cas, qu'en est-il de

? Ou encore

?
Déjà

n'est pas clair!
Peut-être avec de l'approximation diophantienne?

par **tize** » 09 Juin 2007, 15:19

Bonjour,
je pense plutôt que le rayon de convergence est 1.
Pour information, il y a un théorème (très difficile) qui dit que pour

,

. On peut même abaisser le

en question à 8 ou 9 (mais on ne connait pas la borne inférieure de tels

)...
Je vais chercher les références et je vous les poste.

par **kazeriahm** » 09 Juin 2007, 15:45

ceci dit je pense qu'il y a plus simple, apparament c'est un sujet d'oral de l'ens, destiné a des étudiants issus de maths spé...

enfion bon je dis ca... ca n'apporte rien :dodo:

par **Yipee** » 09 Juin 2007, 16:14

J'ai une idée d'approche qui tendrait à prouver que le rayon est 1 mais il reste à polir la démonstration. Des que j'ai un peu le temps je vous ecris mon idée.

par **tize** » 09 Juin 2007, 16:35

Bonjour,
j'ai trouvé une solution pour montrer que le rayon de convergence est 1 en utilisant le théorème de Liouville, pour x algébrique de degré

par **Yipee** » 09 Juin 2007, 16:41

Bon je crois avoir eu une idée mais je ne l'ai pas finalisé. On sait que les

sont denses dans [0,1] mais il y a même equirépartition. Précisement, si a et b sont deux réels de [0,1] et

alors le cardinal de

est équivalent à n(b-a). On peut alors considérer

.
On sait que le cardinal

est équivalent à

.
On peut donc penser que le premier terme dans

est au rang

et que finalement on peut remplacer notre série pour z de module inférieur à 1 par

Cela semble donc converger. Qu'en pensez-vous ?

par **emdro** » 10 Juin 2007, 22:31

Bonsoir,

Le rayon est 1 dans le cas où x=racine(3).
La démonstration (élémentaire) se trouve p.421 du Monier Analyse 2ème Année MP pour ceux qui l'ont sous la main.
Elle s'adapte sans difficulté aux racines d'entiers (non carrés!).

je laisse les autres cas (aleph1 quand même) aux gens qui sont plus dans le coup que moi...

par **Yipee** » 12 Juin 2007, 19:54

J'ai eu un peu plus de temps pour réfléchir à cet exercice et quelquechose me turlupine. En effet il semble que pour certains rationnels cela soit 1 le rayon de convergence. Maintenant, il est assez simple de construire des rationnels pour lesquels le rayon de convergence est nul. Il suffit de construire l'écriture décimale du nombre avec que des 0 et des 1. On place beaucoup de 0 puis un 1 encore beaucoup de 0 etc... Il suffit de prendre des paquets de 0 assez gros pour être sur que la série extraite

diverge. Me trompe-je ? Ne me pense pas que mon nombre

soit dans

par **yos** » 12 Juin 2007, 20:12

C'est très bien vu Yipee. Ayant posé la question à des gens sérieux j'ai eu droit au même exemple que celui que tu cites (presque : c'était pour obtenir R=0,1).
Plus précisément, la fonction

rayon de convergence R(x) prend toutes les valeurs de [0,1].
J'ai pas trop le temps de regarder ça de près mais ce sujet m'intéresse et je me le mets de côté. Les résultats cités par Tize sur

m'intriguent également.

par **tize** » 15 Juin 2007, 19:56

yos a écrit:C'est très bien vu Yipee. Ayant posé la question à des gens sérieux j'ai eu droit au même exemple que celui que tu cites (presque : c'était pour obtenir R=0,1).
Plus précisément, la fonction rayon de convergence R(x) prend toutes les valeurs de [0,1].
J'ai pas trop le temps de regarder ça de près mais ce sujet m'intéresse et je me le mets de côté. Les résultats cités par Tize sur m'intriguent également.

Bonjour,
excuse moi Yos je n'avais pas vu ce dernier message... Le document en question est de Guy Philippe, je l'ai trouvé une fois il y a quelque temps sur le site http://www.les-mathematiques.net mais je ne sais plus où exactement en voici une copie : sinus3.pdf

par **Lierre Aeripz** » 15 Juin 2007, 20:19

Voici un début de solution quand x est irrationnel algébrique de degré d.

On pose, pour

,

tq

.

Donc, en particulier,

.

Or pour

,

.
Comme

On a

Ce qui montre que le rayon de convergence est au moins égal à 1.
Une minoration facile montre que le rayon de convergence est égal à 1.

Pour unnombre non algébrique, c'est beaucoup plus dur. Il n'y a pas de minoration de la distance d'un transcendant à un rationnel (c'est justement une caractérisation, la contraposée du théorème de Liouville).

par **yos** » 15 Juin 2007, 22:06

Merci à tous les deux.
L'article a l'air lisible mais bon il faut un peu de courage.
Pour le cas algébrique j'y étais aussi avec la minoration affine de sin x. Mais
appliquer Liouville ne m'est pas très habituel. Pourtant j'avais bien vu qu'il s'agissait d'approximation diophantienne.
Et puis pour un exo d'ENS, Liouville c'est encore trop. Je poserai la question à un prof de taupe. Parce que là, soit on rate un truc assez simple, soit ils sortent allègrement des programmes.

Rayon de convergence! [Oral ENS]

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