Suites.

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Mathieu10
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Suites.

par Mathieu10 » 28 Mai 2007, 09:41

Bonjour,
Le prof nous a donné 2 éxercices type que l'ont pourra trouver dans le control de Mardi, bien sûr sa ne sera pas les mêmes nombres mais le but et de comprendre comment résoudre ces 2 éxercices.

Exercice 1
On considére la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par :
U0=2 Un+1= 3Un -2
1) Calculer U1, U2 et U3 ( puis prouver que le suite est soit géométrique soit arithmétique, mais j'ai comprit comme faire ceci)
2)Pour tout entier naturel n, on Pose Vn = Un-1
a) Calculer V0, V1, V2 et V3
b)Exprimer Vn en fonction de n
c)En déduire l'expression de Un en fonction de n
3)Calculer u10

Exercice 2
Une personne loue une maisonà partir du 1er janvier 2004. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est 2 400€ et le locataire s'engage à occuper la maison pendant 9 annés complètes.
Contrat n°1
Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5%du loyer de l'année précedente.
a)Calculer le loyer u2 payé lors de ma 2eme anée
b)Exprimer Un(loyer payé lors de la Niéme annnée) en fonction de n
c)Calculer la somme totale payée à l'issue des neufs années de contrat
Contrat n°2
Le locataire accepte une augmentation annuelle fofaitaire de 130€ du loyer de l'annnée précedente.
a)Calculer le loyer v2 lors de la 2eme année
b)exprimer Vn ( loyer payé lors de la niéme anné) en fonction de n.
c)Calculer la somme totale payé à l'issue des neuf annéees du contrat.

Voilà je vous remercie d'avance :)



titine
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par titine » 28 Mai 2007, 10:00

C'est effectivement très classique.
Bon on commence par le premier.
Mathieu10 a écrit:Exercice 1
On considére la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par :
U0=2 Un+1= 3Un -2
1) Calculer U1, U2 et U3 ( puis prouver que le suite est soit géométrique soit arithmétique, mais j'ai comprit comme faire ceci)
2)Pour tout entier naturel n, on Pose Vn = Un-1
a) Calculer V0, V1, V2 et V3
b)Exprimer Vn en fonction de n
c)En déduire l'expression de Un en fonction de n
3)Calculer u10

Tu as calculé U1, U2, U3 ?
Tu as constaté que la suite (Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique ?
Tu as calculé V0, V1, ... ?
Que penses tu de la suite (Vn) ?

Mathieu10
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par Mathieu10 » 28 Mai 2007, 10:07

Tu as calculé U1, U2, U3 ?
Tu as constaté que la suite (Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique ?
Tu as calculé V0, V1, ... ?
Que penses tu de la suite (Vn) ?


Justement j'aimerais savoir comment calculer ceci car je n'ai pas comprit :(

titine
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par titine » 28 Mai 2007, 10:12

Tu es sûr que tu ne sais pas calculer U1, U2, U3 sachant que U0=2 et
U(n+1)= 3Un -2 ?

titine
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par titine » 28 Mai 2007, 10:20

Tu n'es plus là ?

Mathieu10
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par Mathieu10 » 28 Mai 2007, 10:26

Dsl pour le temps mais je ne suis pas seul sur l'ordinateur.
je ne comprend pas a quoi correspnt Un et n dans le calcul U(n+1)= 3Un -2

titine
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par titine » 28 Mai 2007, 10:39

Une suite est une fonction définie dans l'ensemble N des entiers.
Pour les fonctions définies dans R on appelle généralement la variable x.
Par exemple, f est la fonction définie par f(x) = x² - 5.
Pour une suite la variable, qui est un entier, se note n.
Par exemple (Un) est la fonction définie par U(n) = n² - 5.
On a alors U0 = -5 , U1 = -4 , U2 = -1 ....
Mais parfois les suites ne sont pas définies par une formule explicite permettant de calculer U(n) en fonction de n, mais par une formule de récurrence permettant de calculer U(n+1) en fonction de U(n) (c'est à dire de calculer un terme connaissant le précédent).
Ici on a : U0=2 et U(n+1)= 3U(n) - 2.
Donc U1 = 3U0 - 2 = 3*2 - 2 = 4.
U2 = 3U1 - 2 = ..........
U3 = .......
Compris ?

titine
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par titine » 28 Mai 2007, 10:40

Bon, maintenant, es tu d'accord que la suite (Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique ? Pourquoi ?

Mathieu10
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par Mathieu10 » 28 Mai 2007, 10:42

ok merci pour cette explication ^^ je vais aller éssayé sa :) je revien plus tard.
Merci encore

Mathieu10
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par Mathieu10 » 28 Mai 2007, 11:21

Donc U1 = 3U0 - 2 = 3*2 - 2 = 4.
U2 = 3U1 - 2 = ..........
U3 = .......

U2= 3U1 - 2 = 3*4 -2= 10
U3= 3U2-2=30-2 =28

U1= 4 u2=10 et U3=28

Bon, maintenant, es tu d'accord que la suite (Un) n'est ni arithmétique, ni géométrique ? Pourquoi ?


Je dirais que vu que l'ont ajoute pas le même nombre entre U1 U2 et U3 cette suite n'est arithmétique
On ne multuplie pas par le même nombre entre U1 - U2 et entre U2 - U3 donc elle n'est pas géométrique.
C'est juste ? ^^

titine
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par titine » 28 Mai 2007, 11:48

Oui !

Bon, ensuite on définit une deuxième suite, (Vn) avec V(n) = U(n) - 1
Donc V0 = U0 - 1 = ........
V1 = ............
.............
Que penses tu de la suite (Vn) ?

Mathieu10
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par Mathieu10 » 28 Mai 2007, 15:18

Bon, ensuite on définit une deuxième suite, (Vn) avec V(n) = U(n) - 1
Donc V0 = U0 - 1 = ........
V1 = ............
.............

V0 = 2-1 = 1
v1 = 4-1 = 3
v2=10-1 =9
v3 = U3 -3 =28 - 1 =27
Suite géométrique je pense car >> 3*1 = 3 3*3 = 9 3*9 = 28 donc on retrouve les résultat de V0 v1 v2 v3 en multipliant par 3.

titine
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par titine » 28 Mai 2007, 16:19

Mathieu10 a écrit:V0 = 2-1 = 1
v1 = 4-1 = 3
v2=10-1 =9
v3 = U3 -3 =28 - 1 =27
Suite géométrique je pense car >> 3*1 = 3 3*3 = 9 3*9 = 28 donc on retrouve les résultat de V0 v1 v2 v3 en multipliant par 3.

Oui, c'est juste mais il faut maintenant le prouver :
V(n) = U(n) - 1
Donc V(n+1) = U(n+1) - 1 = (3U(n) - 2) - 1 = 3U(n) - 3 = 3(U(n) - 1)
= 3V(n)
V(n+1) = 3V(n) donc (Vn) est une suite géométrique de raison 3.

On en déduit que V(n) = V0*3^n = 3^n

Donc U(n) = V(n) + 1 = 3^n + 1

Donc tu peux calculer U10 .....

Mathieu10
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par Mathieu10 » 28 Mai 2007, 17:26

U(n) = V(n) + 1 = 3^n + 1
U10 = V(10) +1 ?

titine
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par titine » 28 Mai 2007, 18:22

Où est le problème ?
On a exprimé U(n) en fonction de n : U(n) = 3^n + 1
Donc maintenant quel que soit n on sait calculer U(n).
Par exemple U(10) = ....

Jess19
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par Jess19 » 28 Mai 2007, 18:23

U(n) = 3^n + 1

donc tu remplaces simplement n par 10

Mathieu10
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par Mathieu10 » 28 Mai 2007, 18:34

ok, j'ai refait l'exercice avec des nombres différent et j'ai compris, grand merci à vous !!


Pour le deuxiéme exercice,
Contrat 1:
a) U2 = (2400*1.05)*1,05 = 2400*(1,5^2)
b) Un =u(n+1) = 1,05 u(n)
c)2400 + 2400*1.05 + (2400*1.05)*1.05 + ((2400*1.05)*1.05) *1.05 + ect ...

C'est juste ?

titine
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par titine » 29 Mai 2007, 07:12

Oui sauf que je ne suis pas d'accord sur les rangs.
Loyer 1ier année = U1 = 2400
Loyer 2ième année = U2 = 2400*1,05
Loyer de la nième année = U(n) = 2400*1,05^(n-1)
En fait il s'agit d'une suite géométrique de 1ier terme U1=2400 et de raison q=1,05.
Enfin, il me semble ...
U1 + U2 + ... + U9 = U1*(1-q^9)/(1-q) (formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique) = .................

Contrat 2 ; c'est une suite arithmétique.

 

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