Ben 314 m'a devancé, mais bon j'envoie quand même ce que j'écrivais
En fait il y a deux

possibles
Le premier qui a autant de chiffres que

( n chiffres donc), je le note

Le second qui a un chiffre de plus , notons le

, on a

où a est un chiffre compris entre 0 et 9.
On veut montrer que l'on a

ou

c'est à dire
Soit

(i)
soit

(ii).
On détermine

s'il est supérieur à

alors la condition (i) est vérifiée puisque

a un chiffre de plus que

donc que

Si par contre

on a
donc

car a est un chiffre inférieur donc à 9
donc(ii) est vérifiée