Marche aleatoire

[aurii]

Alice et Bob jouent à un jeu de pile ou face. Chaque joueur mise 1 euro à chaque
tour. Si le résultat est pile, Alice gagne 1 euro et Bob perd 1 euro. Si le résultat est face,
Bob gagne 1 euro et Alice perd 1 euro. Le jeu se poursuit jusqu’à ce que l’un des joueurs
n’ait plus d’argent. Les résultats des lancers de pièce sont indépendants et suivent une
distribution équilibrée (probabilité de pile = probabilité de face = 0.5).
Alice commence avec 6 euros et Bob commence avec 10 euros. Le jeu se termine dès
que l’un des joueurs n’a plus d’argent.
1. Calculez la probabilité qu’Alice ait 16 euros à la fin. j'ai dit P(x=1) = P(x=-1)=1/2 . Pour déterminer la probabilité qu’Alice gagne, nous devons résoudre le système d’équations suivant : (a) P0 = 6 (la position de départ est 6 ) (b) PN = 16 (si le pion est à la position N, Alice a gagné) (c) Xi =1/2*X(i+1)+1/2*X(i-1) pour 0 < i < N (c’est l’équation de la marche aléatoire) Nous pouvons réorganiser cette équation pour obtenir une récurrence de second ordre homogène avec des coefficients constants 1/2(X(i+1)-2Xi+ i-1)=0 Les racines de l’équation caractéristique sont r1 = r2 = 1. Cela signifie que la solution générale de l’équation de récurrence est de la forme : Xi = A + Bi or X0=A=6 ET XN=10/N DONC Xi=6+10i/N je pense pas avoir juste. est ce quelqu un pourrais me dire si ca semble bon ou non ? si non vers quel piste dois je m orienter est ce possible de savoir si c juste ou d apporter les mofications necessaire dans la cas contraire

[Ben314]

Salut,
Sur le principe, on va dire que c'est presque bon, sauf qu'il te manque un truc qui fait complètement capoter la méthode à savoir que tu ne tient pas compte du fait que tes position doivent rester strictement positives vu que, si à un moment donné on a, alors la partie est terminé (Bob a gagné).

Sinon, une méthode relativement simple pour résoudre le problème, c'est de noter la probabilité qu'Alice gagne si, au départ, elle possède euros et bob :
Tu as ; et des relation simples reliant avec .qui te permettent de calculer les différentes probabilités .

Vu la tête du résultat (à savoir ), il y a peut-être un argument encore plus simple.