Voici l'énoncé avec lequel j'ai du mal:
Supposons que
Supposons maintenant que
Cette approximation me parait seulement juste dans le cas où
Merci d'avance pour votre aide !
Racines des polynômes aléatoires
4 messages
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racines des polynômes aléatoires
par MaximusvcUcl » 29 Avr 2022, 14:29
Bonjour,
Voici l'énoncé avec lequel j'ai du mal:
Supposons que=a_{0}+...+a_{n}z^{n})
est un polynôme à coefficients complexes aléatoires (iid).
Supposons maintenant que
est un cercle plus grand que le cercle unité. Alors
}{p(z)}dz=\oint_{\gamma}\frac{na_{n}z^{n-1}+(n-1 )a_{n-1}z^{n-2}+...+a_{1}}{a_{n}z^{n}+...+a_{0}}\approx\oint_{\ gamma}\frac{n}{z}dz=2\pi in)
Cette approximation me parait seulement juste dans le cas où
est grand... De plus, en quoi est-ce que le caractère aléatoire des coefficients joue il un rôle ici ?
Merci d'avance pour votre aide !
Voici l'énoncé avec lequel j'ai du mal:
Supposons que
Supposons maintenant que
Cette approximation me parait seulement juste dans le cas où
Merci d'avance pour votre aide !
Re: racines des polynômes aléatoires
par GaBuZoMeu » 29 Avr 2022, 14:45
Bonjour,
Effectivement, cette intégrale compte (avec un facteur
) le nombre de zéros du polynôme à l'intérieur du cercle . Aucune raison que les 
racines y soient.
Peux-tu donner un énoncé complet ?
Effectivement, cette intégrale compte (avec un facteur
Peux-tu donner un énoncé complet ?
Re: racines des polynômes aléatoires
par MaximusvcUcl » 29 Avr 2022, 14:53
Bonjour,
Voici l'énoncé en question (il s'agît d'une introduction heuristique expliquant pourquoi les racines complexes d'un polynôme aléatoire se concentrent autour du cercle unité lorsque n tend vers l'infini) :
Supposons que est un polynôme à coefficients complexes aléatoires et supposons que =a_{n}(z- c_{1})\cdots(z-c_{n}))
. Alors notez que
}{p(z)}=\frac{d}{dz}\log(p(z))=\frac{d}{dz}\log(z-c_{ 1})+...+\log(z-c_{n})= \frac{1}{z-c_{1}}+...+\frac{1}{z-c_{n}} .)
Supposons maintenant que est un cercle plus grand que le cercle unité. Puis
}{p(z)}dz=\oint_{\gamma}\frac{na_{n}z^{n-1}+(n-1 )a_{n-1}z^{n-2}+...+a_{1}}{a_{n}z^{n}+...+a_{0}}\approx\oint_{\ gamma}\frac{n}{z}dz=2\pi in.)
Cependant, par le théorème des résidus,
}{p(z)}dz=\oint_{\gamma}\frac{1}{z-c_{1}}+...+\frac{1}{z-c_{n}}dz=2\pi i|\{k\in\{1,\ldots,n\}|c_{k}\,\,\textrm{est dans le contour }\,\,\gamma\}|.)
En combinant ces deux évaluations de l'intégrale, nous concluons que
Il y a donc environ n zéros de p(z) dans , donc la plupart des zéros de p(z) sont compris entre , donc très peu de zéros peuvent avoir une valeur absolue nettement supérieure à 1. Par un argument similaire, très peu de zéros peuvent avoir une valeur absolue nettement inférieure à 1. Nous concluons que la plupart des zéros se situent près du cercle unité.
https://mathoverflow.net/a/182433
Voici l'énoncé en question (il s'agît d'une introduction heuristique expliquant pourquoi les racines complexes d'un polynôme aléatoire se concentrent autour du cercle unité lorsque n tend vers l'infini) :
Supposons que
Supposons maintenant que
Cependant, par le théorème des résidus,
En combinant ces deux évaluations de l'intégrale, nous concluons que
https://mathoverflow.net/a/182433
Re: racines des polynômes aléatoires
par GaBuZoMeu » 29 Avr 2022, 16:27
Il est important de se référer au premier message : est grand. On regarde ce qui se passe asymptotiquement quand tend vers l'infini.
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