DM Maths 1ere - Dérivation/suites

[arnoox]

Bonjour,
Je suis en premières spé maths et je bloque sur un exercice sur les dérivations/suites.
Voici le sujet :

On considère une boîte de conserve de forme cylindrique. Un volume V étant donné, on souhaite minimiser la quantité de métal utilisé pour fabriquer cette boîte.
On note r : le rayon de la base et h : la hauteur.

1. Démontrer que la surface de métal utilise est donnée par S(r) = 2πr^2 +2V/r (fait)
2. Donner l’ensemble de définition de S et étudier les variations de S sur ce domaine. (fait)
3. En déduire les dimensions de la boite répondant au problème posé.

Je bloque sur la question 3.
Merci d'avance pour votre aide !

[mathelot]

bonjour,
question 2: quelle est la ou les valeur(s) de r qui sont interdites ?

Ensuite, il s'agit de calculer la dérivée de S par rapport à la variable r.

[arnoox]

Bonjour à vous,
En fait, ce que je n'ai pas compris, c'est qu'il n'y a pas de valeur. C'est a dire qu'il y a seulement des lettres et pas de nombre et c'est ça que je ne comprend pas.
Mais je vous remercie pour votre aide

[hdci]

En quoi "des letters" posent-elles un problème ? Les lettres représentent des valeurs, le seul truc c'est qu'on ne les connaît pas a priori, ce sont des "indéterminées".

Ce que vous allez trouver sera donc une condition pour que ce soit toujours vrai : pour tout volume V, vous allez obtenir la quantité minimale de métal. Si plus tard on vous dit que V=1 centimètre cube, vous direz "la quantité de métal est...".

Comme dans d'Einstein : pas de valeur (sauf c en fait) que des lettres. Mais si on me donne m, alors je sais calculer E et si on me donne E, je sais calculer m.

Dons votre problème : vous avez fait la question n°2. Qu'avez-vous trouvé ?

[mathelot]

2. Donner l’ensemble de définition de S et étudier les variations de S sur ce domaine. (fait)

S est définie pour . On peut calculer sa dérivée par rapport à r.





la dérivée de la dérivée (on dit "la dérivée seconde")



On note que S'' est (strictement) positive.

Annuler la dérivée. Quelle relation obtient on entre r et V ?
Calculer h en fonction de r au point où la dérivée S' s'annule. Il s'agit d'un minimum pour S.

[mathelot]

S est minimale pour les valeurs de x telles que S'(x)=0. Résolvons cette dernière équation.



Soit


Soit D le diamètre du fond de la boite.

S est minimale pour h=2r=D.

L'aire de la surface est minimale ssi la hauteur est égale au diamètre du fond de la boite.