Groupe multiplicatif

[Anaisdeistres]

(Z20,×) admet-il des générateurs si oui combien ?

Z20={1,3,7,9,11,13,17,19}

Je ne sais pas comment trouver un générateur

[Mimosa]

Bonjour

Comme c'est assez petit, tu peux les essayer tous. Tu peux aller plus vite en remarquant que , et ainsi de suite!

[GaBuZoMeu]

Le théorème chinois nous dit que le groupe multiplicatif de est isomorphe au produit du groupe multiplicatif de et du groupe multiplicatif de . Qu'est-ce que le premier ? Qu'est-ce que le second ? Le produit des deux est-il cyclique ?

[Anaisdeistres]

Bonjour

Comme c'est assez petit, tu peux les essayer tous. Tu peux aller plus vite en remarquant que , et ainsi de suite!

Oui je pence que tous les essayer est bien ici mais pour être générateur il faut que l'élément essayé passe par tous les éléments de Z20 pour être un élément générateur de Z20 c'est bien cela donc 1 est générateur et c'est le seul ?

[GaBuZoMeu]

Mais 1 n'est pas générateur : le sous-groupe (multiplicatif) qu'il engendre est réduit à {1} !
As-tu réfléchi à mes questions ? La réponse à ces questions montre qu'il est inutile de faire des calculs.