Continuité

[mehdi-128]

Bonjour,

1/ Justifier qu'il existe une unique fonction réelle définie sur qui soit 1-périodique et telle que :

2/ Démontrer que est continue en . D'après un exercice vu précédemment, cela signifie que est continue.

Unicité. Il suffit de remarquer que pour tout on a :
Je l'ai vérifié facilement. Par contre la suite je n'ai pas tout compris.
Par périodicité, pour tout , on a donc :
C'est où qu'on a montré l'unicité ici ?

Existence, il suffit de poser
La périodicité est facile à démontrer.
Je l'ai fait facilement.

La question 2 je ne comprends pas le raisonnement.

Il suffit de vérifier que est continue.
Je n'ai pas compris pourquoi avoir besoin de poser ça ?

L'application est 1 périodique et
Puisque et que par périodicité , la fonction est continue en 0.

Je n'ai pas compris pourquoi on étudie la limite en pour montrer qu'elle est continue en
Et en quoi montrer que est continue en 0 nous permet d'en déduire que est continue en 0.

[pascal16]

regarde la définition de g, c'est f décalée en x de 0.5 (pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué)

f continue sur ]-1/2; 1/2[
les limites en -1/2+ et 1/2- sont identiques
f prolongée par 1 périodicité va être continue sur R entier

[mehdi-128]

Je n'ai pas compris pourquoi pour montrer que est continue en on étudie la limite en et pas en

Et pourquoi on décale de 1/2

[pascal16]

g(x)=f(x-1/2)

le rédacteur se complique la vie

[mehdi-128]

Si g tend vers 1 alors f tend vers 1/2 mais pourquoi étudier la limite en 1/2 pour montrer la continuité en 0 ?

[mehdi-128]

regarde la définition de g, c'est f décalée en x de 0.5 (pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué)

f continue sur ]-1/2; 1/2[
les limites en -1/2+ et 1/2- sont identiques
f prolongée par 1 périodicité va être continue sur R entier

Oui mais vous n'utilisez pas la restriction de à .

[pascal16]

Tu as bien compris le problème, c'est un erreur de notation dans la question 2.

Le changement x-> x-1/2 permet d'avoir exactement f restreinte à [-1/2;1/2[ équivalent à g restreinte à [0;1[, c'est donc g qui devrait être utilisé en question 2 alors qu'elle n'est pas définie dans l'énoncé.

Je pense que c'est pour coller à son exo précédent, mais comme je l'ai pas...

[mehdi-128]

Ok du coup je dois montrer que est continue en , alors pourquoi étudier la limite en 1/2 et pas en 0

[pascal16]

le sens de l'exo semble être qu'il faille étudier la continuité de g en 0.
(ce qui est étudier celle de f en -1/2)

[mehdi-128]

Je ne vois toujours pas.

Mais l'exercice précédent était si est continue en 0 alors est continue sur .

Ici il faut montrer que est continue en mais le corrigé étudie la limite de en et pas en 0

[pascal16]

la continuité (de la prolongation) de g en 0, c'est regarder si la limite en 0+ est la même qu'en 1-
la continuité (de la prolongation) de g en 1, c'est regarder si la limite en 1- est la même qu'en 0+

donc, il n'y a pas de différence

Il se trouve que la définition de départ est un segment ouvert coté droit, donc il est plus logique de parler de la continuité en 1-.