Suite de Cauchy

[katiyoup]

bonsoir,
Si $x_{2}$ est une suite de CAUCHY AVEC $d(x_{n},x_{n+1})$ converge vers 0 alors la suite (x_{n}) est de Cauchy . Avec d une véréfie les propriètés d'une distance sauf elle est pas symétrique. J'arrive pas à démontrer ça quelqu'un peut m'aider et merçi

[klaimouad]

Salut

la question est mal ecrit que voulais tu dire par Si $x_{2}$ ...

[Yezu]

Salut,

Juste pour t'informer que les bonnes balises à utiliser pour les formules sont : "[TEX ] ..... [/TEX ] (sans les espaces)
(:

[katiyoup]

$x_{2n}$ la sous suite de terme paire

[aviateur]

Bon, d'abord tu vas faire un effort en appliquant en particulier la remarque de @Yezu
afin que l'on puisse lire et comprendre ta question sans se casser la tête.
Ensuite il y bien quelqu'un qui te répondra.

[mathelot]

bonjour,
est ce que tu dois démontrer que si est de Cauchy et
alors la suite est de Cauchy.
ou un autre résultat ?

[katiyoup]

@ mathelot oui c'est bien ça

[mathelot]

soit
il existe pour tout , pour tout

d'après les hypothèses.

les autres cas se traitent de la même façon.

[Elias]

Salut,

pour la distance d, je noterai en valeur absolue pour que ça soit plus lisible....

Soit .

Comme est de Cauchy, il existe entier tel que pour tout . (*)

Comme tend vers 0, il existe entier tel que pour tout (**)

Posons .

Prenons deux entiers tels que et et montrons que .

Si p et q sont pair, alors et et comme et , le résultat s'ensuit d'après (*).

Si p est pair et q impair. Alors on écrit :

.

Première inégalité car p, q+1 sont tous deux pairs et p/2 et (q+1)/2 sont tous deux supérieurs à .
Deuxième inégalité car et en utilisant (**).


Enfin, si p et q sont tous deux impairs, alors

d'après (*) puis (**) puis (*).


PS : mathelot plus rapide.

[katiyoup]

Merç pour votre réponse j'ai une tout petite remarque si l'appliaction d ne vérifie pas la condition de la symètrie comment on peut obtenir le résultat dans la cas où p et q sont impairs

[mathelot]

ici , on n'utilise que l'inégalité triangulaire et pas la symétrie

[katiyoup]

Si, car je n'ai que qui converge vers 0 et pour la deuxième i.e je n'ai aucun idèe sur cette suite là comment peut on montrer que si est de cauchy alors l'est aussi

[mathelot]

on écrit:

[katiyoup]

Merçi pour votre aide