Dérivabilté

[houssamhoussni]

soit f: I vers R et d appartient à I
montrer que si f est dérivable en d alors pour toutes suites (an) et (bn) vérifiant:
(qqsoit n), an different de bn, an<d<bn et lim an=lim bn=d
alors,
lim (f(an)-f(bn))/(an-bn) = f'(d)
j ai pensé au TAF mais la fonction f' n est pas supposé continue pour conclure
des idées svp,?mrc d 'avance!

[aviateur]

tu peux écrire en latex de façon que cela soit lisible?

[houssamhoussni]

tu peux écrire en latex de façon que cela soit lisible?

pardon je ne maitrise pas encore le latex, qu est ce qui te parait illisible?

[Elias]

Salut,

f est dérivable en donc il existe une fonction définie sur I dont la limite en est nulle et telle que pour tout dans



En particulier, pour tout , on a :



En divisant par :




En passant à la limite, on obtient le résultat.
Par exemple :
tend vers 0 quand n tend vers +infini et

car

[infernaleur]

Salut,

f est dérivable en donc il existe une fonction définie sur I dont la limite en est nulle et telle que pour tout dans



En particulier, pour tout , on a :



En divisant par :




En passant à la limite, on obtient le résultat.
Par exemple :
tend vers 0 quand n tend vers +infini et
qui tend bien vers 1.

Ceci étant valable si pour n assez grand, les a_n sont tous non nuls (car je divise par a_n)
Si ce n'est pas le cas, c'est que (a_n) est stationnaire à 0 (car cette suite est convergente) et donc en remplaçant a_n par 0 on obtient la même chose...

Salut,
je comprend pas le passage en rouge on a pas une forme indéterminée 0/0 non ?

[Elias]

En effet, je suis allé un peu vite !
On peut dire plutôt que :

car

[infernaleur]

Ah oui et donc :

et ça tend vers 0 quand n tend vers l'infini bien joué !

(j'étais parti avec la notation petit "o" mais en fait c'est mieux de reprendre ton raisonnement avec espilon)

[Elias]

Je reviens systématiquement à epsilon dans ces situations.

Et sinon, faut quand même aussi le faire pour l'autre terme puisque du coup c'est moins évident :
car(numérateur et dénominateur négatifs)

[Ben314]

Salut,
A mon avis, c'est pas bête de "rallonger" l'exercice avec les questions suivantes :
- Montrer que le résultat perdure, si on ne suppose pas que an<d<bn mais qu'on suppose que f' est continue.
- Montrer à l'aide d'un exemple que le résultat peut être faux si on ne suppose pas que an<d<bn ni que f' est continue.

[Elias]

Salut,

en effet, je m'étais posé la question aussi de voir si le résultat persistait en enlevant des hypothèses. Du coup, en y réfléchissant :

- Montrer que le résultat perdure, si on ne suppose pas que an<d<bn mais qu'on suppose que f' est continue.

On suppose que f ' est continue sur I et non simplement en d ?
Dans ce cas, on s'en sort avec le théorème des accroissements finis.

- Montrer à l'aide d'un exemple que le résultat peut être faux si on ne suppose pas que an<d<bn ni que f' est continue.

Le premier exemple (classique) qui me vient est le cas de la fonction f définie sur R par si et
On montre qu'elle est dérivable sur R et donc en particulier en 0 avec f '(0)=0. Mais sa dérivée n'est pas continue en 0.

En prenant les suites définies par et , on montre par exemple que


Mais il doit y avoir plus simple...