Est-ce que a*2^x=b*2^y a une solution

[fasafr]

Bonjour,

je ne suis pas certain que ce soit la bonne section mais il m'a semblé que ce problème était du niveau Lycée donc je l'ai mis ici...

Etant donné deux entiers positifs impairs a et b différents l'un de l'autre et de 0, je cherche à savoir s'il existe deux entiers x, y (pair ou impair) également positifs correspondant tel que a*2^x=b*2^y.

Si oui est-ce que c'est toujours le cas quelque soit les valeurs de a et b, ou s'il n'y a jamais de solution, s'il y a seulement quelques cas particuliers, dans quelle condition, etc, bref si c'est un cas d'algèbre qui à déjà été étudié, voir ultra classique ?

En effet j'ai besoin de cette réponse pour une autre démonstration et je n'ai pas envie de ré-inventer la pluie si ça existe déjà et que c'est connu par le moindre mathématicien comme la bonne humeur de ma grand-mère

Merci.

[fasafr]

A priori j'ai envie de dire que si a et b sont impairs alors a/b est forcément un réel non entier et ne peut en aucun cas être égal à 2^(x-y) ou 2^(y-x) qui est forcément entier si x et y sont entiers non ? (mais combien de fois j'ai cru qu'un problème de math était simple et ce n'était pas du tout le cas )

[chan79]

salut
effectivement, si on aurait

impossible (pair=impair)

[fasafr]

Ha oui en fait c'est ça, pair <> impair ...
Pensez vous qu'on puisse le généraliser à tout les a <> b impairs et <> 0 ?

[chan79]

ça me paraît toujours impossible

[beagle]

a/b OU b/a n'est pas entier si impairs ET différents.
Il te manque des bouts dans la rédaction

a=15 et b = 3 , a/b = 5 qui est entier

[fasafr]

Oui beagle j'ai oublié de dire que je me suis trompé dans ma phrase : "si a et b sont impairs alors a/b est forcément un réel non entier" ça peut donner un résultat entier en effet.

Mais je crois quand même que chan79 a raison, même avec un entier et si n est impair n*2^x=2^y revient à chercher la solution de pair = impair ce qui est impossible si a/b ne peut pas être pair ce qui me semble vrai si a et b sont des entiers impairs n'est ce pas ?

[beagle]

Oui beagle j'ai oublié de dire que je me suis trompé dans ma phrase : "si a et b sont impairs alors a/b est forcément un réel non entier" ça peut donner un résultat entier en effet.

Mais je crois quand même que chan79 a raison, même avec un entier et si n est impair n*2^x=2^y revient à chercher la solution de pair = impair ce qui est impossible si a/b ne peut pas être pair ce qui me semble vrai si a et b sont des entiers impairs n'est ce pas ?

Je ne comprends rien à la première phrase.Ok compris finalement avec les ""

Et l'ami chan79 a raison sauf que on pourrait avoir x=y et la seule parité-imparité ne permettrait plus de contradiction si derrière on ne reprend pas le avec a différent de b

Je te laisse recoller tous les mots.Un seul qui manque et alors tout s'écroule!

[fasafr]

Oui "a différent de b" est un élément important

[zygomatique]

salut

tout entier n s'écrit de façon unique : avec a impair (résultat classique qui s'obtient comme cas particulier de la décomposition (unique (à permutation près)) d'un entier en produit de facteurs premiers)

donc avec a et b impairs => a = b et p = q


de façon élémentaire :

=> a divise

or a est impair donc ne divise pas donc a divise b

et pas symétrie b divise a donc a = b ... donc p = q ...

[fasafr]

Merci zygomatique pour ces précisions.