Inégalité de convexité

[Rabzouz]

Bonjour,

Je n'arrive pas à prouver l'inégalité suivante:
pour tout n >= 1, ne/(n+1) <= (1+1/n)^n <= e où e = exp(1)
Pour la deuxième inégalité, j'ai réussis à la prouver via l'inégalité de convexité suivante:
pour tout u > -1: 1 + u <= exp(u)
Mais je n'arrive pas à démontrer la première inégalité .
Selon moi il s'agirait de réutiliser cette inégalité de convexité.
Merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
On peut effectivement chercher dans le "subtil" (i.e. les inégalités de convexités), mais on peut aussi rester dans le "franchement basique" :
.
- L'inégalité de droite équivaut à qu'on démontre aisément en étudiant la fonction sur ]0,1].
- Celle de gauche équivaut qu'on montre tout aussi facilement.

[Rabzouz]

Ah oui effectivement, merci pour cette réponse.
Vous avez une idée concernant la resolution de cette inégalité avec les inégalités de convexité ?
En effet, la résolution serait dans ce cas beaucoup plus intéressante que cette résolution basique.
Merci d'avance

[Ben314]

Vous avez une idée concernant la resolution de cette inégalité avec les inégalités de convexité ?

Non.
Perso., j'ai pas l'habitude d'utiliser l'inégalité de convexité dans de tel contexte : je l'utilise uniquement lorsqu'il y a clairement des notions de barycentres en jeu ou des notion de position de la tangente par rapport à la courbe.
Donc je ne "vois pas" comment l'utiliser dans ce type de contexte.

Mais il faut bien comprendre ce que ça veut dire et pas le comprendre de travers : ce genre de truc, vu le temps que ça me prend a faire avec les outils du Lycée j'ai jamais pris le temps de regarder s'il y avait moyen d'aller plus vite en utilisant la convexité alors que ça doit surement être possible...

En effet, la résolution serait dans ce cas beaucoup plus intéressante que cette résolution basique.

C'est aussi éventuellement lié au fait que, pour moi (mais c'est parfaitement discutable), lorsque j'ai deux résolution possible approximativement de même longueur pour un même truc, je trouve "plus intéressante" celle qui est accessible par le plus grand nombre, donc qui utilise les outils les plus basiques.

[Rabzouz]

Oui, je comprends totalement et je suis même daccord avec vous. C'est juste que dans ce contexte cela m'aurais permis d'utiliser des notions que je ne maitrise pas encore totalement afin de m'améliorer .
Merci encore