Pi/4=5arctan(1/7)+2arctan(3/79)
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thibo777
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par thibo777 » 02 Oct 2006, 19:12
Bonjour à tous !
Alors voila mon probleme: montrer que Pi/4=5arctan(1/7)+2arctan(3/79)..
Pas mal de personnes ont cherchés ce probleme, mais jusque la je n'ai vu personne reussir.
Ma premiere idée etait de passer a tan(Pi/4)=tan[ 5arctan(1/7)+2arctan(3/79) ]
Par tan(a+b)= [tan(a)+tan(b)]/ [1+tan(a)tan(b)] j'obtiens une nouvelle forme...
Mais voila ca fait des tan(5*arctan(1/7)) et tan(2arctan(3/79))....
S'il vous plait aidez moi, je sais vraiement pas quoi faire avec ca...
A tous merci beaucoup d'avance !!!
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tize
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par tize » 02 Oct 2006, 19:19
A vue de nez (je ne sais pas) mais cela ressemble beaucoup à la formule de Machin :
iciA quelques modifications près...
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thibo777
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par thibo777 » 02 Oct 2006, 19:29
oui je n'avais jamais entendu parler de Machin, mais comment démontrer cette égalité ?
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thibo777
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par thibo777 » 02 Oct 2006, 19:55
Oui c'est bien cela, j'avais d'ailleur aussi consulté cet excelent site sur Pi, mais ce que je n'ai jamais pu trouver c'est la démonstration de cette formule d'Euler...
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Jacques COLLOT
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par Jacques COLLOT » 04 Oct 2006, 11:17
Voici la solution
Cette méthode s'applique à la plupart des formules en arctan
Le début est repris du livre déjà mentionné plus haut.
Pour démontrer les formules de décomposition de pi/a en somme d'arc tangentes, la méthode la plus simple consiste à utiliser plusieurs fois de suite la relation
Etablissons par exemple la formule suivante, qui étatit déjà connue d'Euler
Pour cela, on calcule
On par maintenant de pi/4 = arctan 1/1 , et on applique un ceratin nombre de fois la fomule ci-dessus. On aura successivement
Voilà j'espère que cela répond à la question.
Jacques
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hazal_kaya
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par hazal_kaya » 08 Oct 2014, 21:59
quelqu un peut m expliquer le passage de arctan 3/4 à arctan 1/7+arctan17/31 ??
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deltab
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par deltab » 09 Oct 2014, 01:19
Bonsoir.
On peut aussi s'en tirer en appliquant plusieurs fois la formule
et non
et son corollaire
.
On peut ainsi exprimer
comme fonction rationnelle de
(donc est rationnel). De même
est une fonction rationnelle de
. Il reste à récapituler et l'on devrait aboutir à:
PS: On a pour n entier naturel
est une fonction rationnelle de
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chan79
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par chan79 » 09 Oct 2014, 08:42
hazal_kaya a écrit:quelqu un peut m expliquer le passage de arctan 3/4 à arctan 1/7+arctan17/31 ??
salut
on cherche
tel que
on trouve
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hazal_kaya
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par hazal_kaya » 09 Oct 2014, 16:39
ah oui merci ..
peut on la demontrer en utilisant que :
arctan(a)-2arctan(b)=arctan((a-2b-ab²)/(1+2ab-b²))
que pensez vous??
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