Plongements

[Trident]

Bonjour, je vous sollicite pour une question à propos de plongements.

On part des résultats suivants : résultat 1 : tout espace métrique (X,d) séparable se plonge isométriquement dans où désigne l'ensemble des suites de réels bornés (c'est un espace de Banach non séparable pour la norme infinie).

Et on rappelle qu'un plongement isométrique d'un espace métrique X dans un espace métrique Y est une application f de X dans Y qui soit isométrique (i.e. d(x,y)=d(f(x),f(y)) pour tout x , y dans X).

résultat 2 :Si E est un espace de Banach séparable, alors E se plonge isométriquement dans

Comment à partir de ces deux résultats montrer que si (X,d) est un espace métrique séparable, alors il existe un plongement isométrique de dans



J'ai pensé à dire que se plonge dans donc il existe tel que soit isométrique à . A son tour, X' se plonge dans son complété qui est donc séparable car X' l'est. Mais étant complet, c'est un espace de Banach séparable donc il se plonge dans .

Est-ce correct ? Le semblant de corrigé dans un cours que j'ai pu lire n'adopte pas du tout la même démarche (et il connait les résultats que je cite) donc du coup je ne suis pas sûr. Peut être que la distance dans X' ne provient pas nécessairement d'une norme et donc n'est pas un e-v-n mais seulement un espace métrique ?

[Ben314]

Salut,
A priori, telle quelle, ta preuve ne va pas, (ou alors, c'est que le terme "complété" que tu emploie ne correspond pas à son sens le plus fréquent).

Une fois que tu as plongé l'espace de départ dans l^oo, le "compléter", en fait, ça veut dire en prendre son adhérence (en tout cas, c'est comme ça que je le comprend : tu le rend complet et c'est tout).
Ce que tu obtient en faisant ça, c'est évidement un espace complet, mais je ne vois pas le début de la moitié d'une raison que ce soit un espace vectoriel...
Si tu procède de la sorte, il faut non seulement "compléter" pour le rendre... complet, mais aussi, à un moment ou un autre, prendre l'espace vectoriel engendré par ton truc de façon à avoir... un espace vectoriel.
Sauf erreur, pour être peinard, il faut d'abord prendre le s.e.v. engendré, puis en prendre l'adhérence dans l^oo (vu que l'adhérence d'un s.e.v. est forcément un s.e.v. par continuité de + et de .)

Reste à vérifier que ton truc est resté séparable à travers les deux opérations que tu lui a fait subir (il me semble que c'est O.K.)

[Trident]

Ah oui pas bête. Du coup si on note X' le plongement de X dans l^{oo} et D' une partie dénombrable dense de X', une partie dénombrable dense de Vect(X') sera l'ensemble des sommes finies où et ?

[Ben314]

Sauf erreur, oui.

[Trident]

Ok, merci !