Densité - Borne inf - Suites

[OoYoussef]

Bonsoir,
jai besoin d'aide pour démontrer deux propriétés connues, et plutôt simples, mais j'y arrive quand meme pas.
1. A est dense dans R, ssi, il existe une suite (an) de points de A qui converge vers x
2. Soit c un minorant de A. c=inf(A), ssi, il existe une suite (an) de points de A qui converge vers c.

Merci énormément pour votre aide.

[mathelot]

[quote="OoYoussef"]Bonsoir,
jai besoin d'aide pour démontrer deux propriétés connues, et plutôt simples, mais j'y arrive quand meme pas.
1. s' il existe une suite (an) de points de A qui converge vers x,
alors

x est dans l'adhérence de A. si c'est vrai pour tout a, A est dense dans R:




le distingo est le suivant:
x=1+1/n "1" est un point d'accumultaion de (un)

x=(-1)^n "1" est dans l'adhérence de (un)

2.[s] Soit c un minorant de A. c=inf(A), ssi, il existe une suite (an) de points de A qui converge vers c.
[/s]
[COLOR=Red]c est un minorant de A si
pour tout


le plus grand des minorants de A se nomme borne inférieure de A
il vériie

pour tout a \in A pour tout \epsilon \in c
c-\epsilon<a<c

[OoYoussef]

Salut mathelot et merci pour ta reponse.
Desolé, jai oublié de preciser que je suis en premiere annee prepas MPSI, donc on a pas encore vu l'adherence.
et pour la 2eme question, ce que tu as dis est bien juste, mais t as pas repondu a la question : l existence d une suite qui converge vers c ? ( double implication )
Merci

[mathelot]

def


x est un point d'accumulation de (a) si
pour tout \epsilon>0 ,il existe tel que 0< d(a,x)<\epsilon

a est une valeur d'adhérence de x si il existe pour tout epsilon, une valeur a , tellle que d(a,x)<\epsilon

a peut être aors un terme égal à "x"

[mathelot]

pour la (2) , Dedekind construit les réels "par coupures."



r=\{A,\B} où A et B sont des ensemles adjacents non (vides)


ex

[mathelot]

c= -3 minore mais n'est pas la limite d'un suite de (a)

tu confonds avec la "borne inférieure, qui elle,est le plus grand des minorants de la suite.

[zygomatique]

Bonsoir,
jai besoin d'aide pour démontrer deux propriétés connues, et plutôt simples, mais j'y arrive quand meme pas.
1. A est dense dans R, ssi, il existe une suite (an) de points de A qui converge vers x
2. Soit c un minorant de A. c=inf(A), ssi, il existe une suite (an) de points de A qui converge vers c.

Merci énormément pour votre aide.

salut

si tu n'as pas vu ce qu'est l'adhérence d'un ensemble alors il serait utile de nous dire ce que tu sais !!!

parce que sans cette définition de l'adhérence alors 1/ est une définition (très mal écrite de plus !!)

2/ presque idem : il suffit de partir de la définition de l'inf ... ou du moins nous donner celle que tu as parce que 2/ est une définition


et une définition ne se montre pas elle s'apprend ... (après on peut évidemment montrer l'équivalence entre plusieurs définitions ... ce qui nécessite d'avoir plusieurs définitions ...


il est temps de te mettre au travail avec plus de rigueur et de sérieux ...

[paquito]

Pour moi, A est dense dans R ssi pour tout réel x, tout voisinage de x rencontre A, ce qui peut se simplifier en ne soit pas vide; on peut donc choisir pour tout n un élément de , ce qui donne bien ta suite convergente et une définition alternative de A dense dans R; on peut même démontrer que est infini pour tout n.

Par contre pour la suite, il y a un problème tu parles de A dense dans R; dans ce cas un minorant de A me paraît difficile à trouver; donc si tu pouvais rectifier ton énoncé?

Petite rectification: j'aurais dû prendre voisinage épointé de x; ça ne change pas grand chose mais si , ça évite le cas trivial qui n'a aucun intérêt.