Calcul du carré d'un nombre

[herve67]

Salut, petit défi (uniquement si vous avez du temps à perdre et une bonne patience) que je vous lance sur le décorticage de nombre élevés au carré que j'ai pu constater en m'amusant avec les carrés :lol3:

Je donne quelques infos pour y parvenir :

7²=7*7=49 :ptdr:
34²=0916+12*2*10=1156 :fan:
697²=368149+63*20+42*2*100+108000=485809 :eek:
2345²=04091625+400+3000+(5*2*2+4*3*2)*1000+2*4*2*10000+6*200000=5499025 :shock:


A vous maintenant :bad2: :

4.27..96.²=.625.44.6404.13.25+..0+9000+1..000+(12+..)*.*10000+...00000+(72+42+1.)*2000000+232*100^.*10+164*10^.*100+258*1000^.+(2*8+2*5+4*.)*2*10000000000+(14+40+8)*2*10^11+...............+76*10^.+16*100^7+40000000000000000=.050124.339.191..5


Enigme :
Je vaut deux fois la somme des nombres entiers naturels qui précèdent ma racine ajouté à cette dernière.
Lorsqu'on m'ajoute à mon carré on est à ma valeur plus un du carré suivant. Et si on ajoute 82 et 83 à ce dernier on tombe sur un autre nombre élevé au carré.
Je suis ?

[DamX]

Hello,

Euh la première partir il y a une question ?

Pour l'énigme ensuite qui n'a a priori rien a voir avec le début, il y a une erreur non ? Ou j'ai mal compris un truc, Parce que si x est la racine du nombre qu'on cherche, la première phrase nous dit que
x^2 = 2*(1+2+...+x) = 2*x(x+1)/2 =x(x+1) donc x = 0...

Damien

[herve67]

Pour la première partie il s'agit uniquement de compléter les . dans le calcul.

Pour l'énigme, je viens de changer la seconde phrase pour trouver une valeur.
J'ai du mal m'exprimer, c'est 2 fois la somme des nombres qui précèdent x puis seulement après on rajoute x.

Cela dit, la première phrase n'est pas très importante en soi. Elle permet uniquement de faire une petite réflexion sur le thème :lol3:

[eriadrim]

Très sympa la méthode pour les carrés

Il suffit de décomposer le nombre en somme de puissance de 10 :


Quand on met ce nombre au carré, d'après les identités remarquables, on a des termes aux carrés et des produits.

On regroupe tout d'abord les carrés :



En remarquant que un chiffre au carré est inférieur à 100, ce terme est très simple a obtenir :
Par exemple dans ce qui est donné le terme avec que des carrés est : 36 81 49 : il suffit de juxtaposer les

Après pour les produits, il faut regrouper les puissances de 10 correspondantes.

A partir de là j'en ai déduit :

452782965 = 162504496404813625 + 600 + 9000 + 128000 + (12 + 40) * 2 * 10000 + 20200000 + (72+42+10)*2000000 + 232*10^6*10 + 164*10^6*100 + 258*1000^3 + (2*8 + 2*5 + 4*9)*2*10000000000 + (14+40+8)*2*10^11 + 67000000000000 + 76*10^13+16*100^7 + 4000000000000000 = 205012413394191225

Pour l'énigme je dirais 81 mais je suis pas sur :spy:

[herve67]

Salut, ayant une limite de bac sti datant de quelques années je comprend qu'à moitié ta théorie mais je vais expliquer mon raisonnement.

Le calcul est juste mis à part "67000000000000" qu'il faut multiplier par 2.

Pour 697² au départ j'avais une autre méthode,
6² puis je vais vers 9
6²/2*6*9 passage de 6 vers 9
6²/2*6*9/9²+2*6*7 arrivé à 9 je calcul son carré et je multiplie 2fois les chiffres qui l'entourent
6²/2*6*9/9²+2*6*7/2*9*7 passage de 9 vers 7
6²/2*6*9/9²+2*6*7/2*9*7/7² arrivé à 7
Soit
36/108/165/126/49
36+10/8+16/5+12/6+4/9
46/24/17/10/9
48/5/8/0/9
485809

Mais j'ai remarqué que comme 6 et 7 j'avais également 9 au carré j'ai écris directement
368149 et j'ai additionné le reste en partant de la fin et en mettant chaque fois 0 derrière en fonction d'où je me plaçais.
368149
+2*9*70
+2*6*700
+2*6*9000

=368149
+1260
+8400
+108000

=485809

Enfin il suffit quand on passe d'un chiffre à l'autre de multiplier 2fois les chiffres qui les entourent, de même quand on s'arrête sur un chiffre.
Cette méthode permet uniquement comparé au calcul sur feuille du nombre multiplier par lui même de ne pas se perdre dans les retenus. J'ai tenté sur plusieurs calcul, je met le même temps mais mes calculs traditionnels (on peut dire) sont souvent faux lors de grand nombre.

En effet pour l'énigme c'est 81.

Vérifions

Je vaut deux fois la somme des nombres entiers naturels qui précèdent ma racine ajouté à cette dernière.
-> oui pour tous les carrés, 3²=1+1+2+2+3=(1+2)*2+3
ou dans ce cas 81²=(1+2+3+4....+80)*2+81

Lorsqu'on m'ajoute à mon carré on est à ma valeur plus un du carré suivant.
->Soit x le nombre cherché
On a x²+x+(x+1)=(x+1)²
Et si on ajoute 82 et 83 à ce dernier on tombe sur un autre nombre élevé au carré.
->Ca donne (x+1)+82+83=n²

De là on peut remarquer que 83=82+1
Supputons que x+1=82=X
Ca donnerait : X²+X+(X+1)=n² et n²=(X+1)² on retombe sur la définition d'avant.

Et alors x=82-1=81.