Taux d'accroissement avec Ln

[BiancoAngelo]

Faux arrêter avec cette histoire de "taux d'un taux", ou alors il faut formaliser ça correctement !

:ptdr: Un taux d'accroissement, c'est formalisé :ptdr:

Et puis c'était une proposition de piste, donc même si ce n'est pas complètement juste, ça permet d'ouvrir le chemin :lol3:

[Ben314]

Le "léger" problème, c'est que ça :

On suppose donc la fonction f dérivable deux fois en 0.

C'est pas du tout la définition de "deux fois dérivable en 0", mais une conséquence d'un des nombreux théorèmes de Taylor et on appelle ça... un développement limité.
Certes, on peu tout a fait se passer d'employer le terme de D.L., mais on ne peut pas sortir la formule çi dessus d'un chapeau... :doh:

[chombier]

Le "léger" problème, c'est que ça :C'est pas du tout la définition de "deux fois dérivable en 0", mais une conséquence d'un des nombreux théorèmes de Taylor et on appelle ça... un développement limité.
Certes, on peu tout a fait se passer d'employer le terme de D.L., mais on ne peut pas sortir la formule çi dessus d'un chapeau... :doh:

Ah c'est sur, d'ailleurs je me suis demandé si on ne pouvait pas la redemontrer en faisant une version allégée d'un des théorèmes de Taylor-Lagrange-Young et j'ai vite laisse tombé, a vu de nez ça aurait été aussi compliqué que de refaire le théorème en entier.

Et je ne suis pas convaincu du tout que la réciproque soit juste, c'est pourquoi j'ai commencé par "On suppose la fonction deux fois derivable en 0" afin d'éviter de me poser la question.

[chombier]

:ptdr: Un taux d'accroissement, c'est formalisé :ptdr:

Et puis c'était une proposition de piste, donc même si ce n'est pas complètement juste, ça permet d'ouvrir le chemin :lol3:

Certes, mais évitons les raccourcis.

Le taux d'accroissement de la fonction f en x_0 est la fonction

Le taux d'accroissement de la fonction f en 0 est la fonction

Le taux d'accroissement en 0 du taux d'accroissement en 0 de la fonction f en 0 est le taux d'accroissement en 0 de la fonction t, c'est à dire :



Or t n'est pas définie en 0. Il faudrait donc parler du taux d'accroissement du taux d'accroissement prolongé par continuité en 0. En posant t(0)=f'(0), et donc en supposant que f est dérivable en 0.

On aurait alors

.

Il reste à prouver, sans utiliser les DL, que cette fonctions tend vers , sans utiliser Taylor sinon tout cela ne sert à rien (si quelqu'un veut s'y coller, moi je n'ai pas d'idée de piste) et mieux, de prouver, que la réciproque est vraie (si cette fonction converge, alors f est deux fois dérivable en 0), ou qu'elle est fausse, avec un contre-exemple.

[BiancoAngelo]

Certes, mais évitons les raccourcis.

Je n'appelle pas ça un raccourci. Il est important de garder une part d'intuition dans les choses, et après de pouvoir s'y coller, comme tu dis dans la fin du post, pour savoir si effectivement ça permet de valider (ou non) ce qu'on cherche à démontrer.

Il est important de ne pas rester fermé à des idées, il y a énormément de chemins...
Se pencher sur l'idée permettrait peut-être de trouver des choses intéressantes.

Comme tu l'as dit, le taux du taux n'étant pas défini en 0, on doit faire un prolongement, chose qui était faite dans l'exercice en question.

Merci tout de même pour toutes ces précisions !

[chombier]

Je n'appelle pas ça un raccourci. Il est important de garder une part d'intuition dans les choses, et après de pouvoir s'y coller, comme tu dis dans la fin du post, pour savoir si effectivement ça permet de valider (ou non) ce qu'on cherche à démontrer.

Il est important de ne pas rester fermé à des idées, il y a énormément de chemins...
Se pencher sur l'idée permettrait peut-être de trouver des choses intéressantes.

Comme tu l'as dit, le taux du taux n'étant pas défini en 0, on doit faire un prolongement, chose qui était faite dans l'exercice en question.

Merci tout de même pour toutes ces précisions !

Le taux d'accroissement de f en 0 n'est pas défini en 0. De la rigueur que diable !!

Je suis fort marri car je n'ai aucune idée de la façon dont on pourrait prouver que, si f est deux fois dérivable en 0,



La dérivée seconde de f en 0 étant elle-même la limite du taux d'accroissement de f'(x) en 0, et f' n'étant présente dans cette expression que sous la forme f'(0). Ca me dépasse un peu. Sans le mastodonte Taylor, je ne suis rien

En revanche, j'admet que c'est vrai que cette histoire de taux d'accroissement du taux d'accroissement prolongé par continuité a un sens et aboutit à des choses intéréssantes :lol3:

Bon, en fait avec des intégrales et une IPP on s'en sort (ça reviens à redémontrer Taylor avec reste intégral, mais sans la récurrence puisqu'on se cantonne au cas n=2).

[BiancoAngelo]

Le taux d'accroissement de f en 0 n'est pas défini en 0. De la rigueur que diable !!

Je suis d'accord avec toi sur le fait qu'il n'est pas défini en 0, mais comme on parle de fonction dérivable, on arrive à chaque fois à prolonger. Ai-je dit autre chose ? J'essaie d'être rigoureux autant que possible En tant que matheux, logique !

Bon, en fait avec des intégrales et une IPP on s'en sort (ça reviens à redémontrer Taylor avec reste intégral, mais sans la récurrence puisqu'on se cantonne au cas n=2).

Finalement, ça veut dire que si le taux d'accroissement en du taux d'accroissement en a bien une limite (en considérant bien sûr que le premier taux ait pu être prolongé grâce à la dérivée première), alors on peut considérer que la fonction est deux fois dérivable en ce point ?

[chombier]

Je suis d'accord avec toi sur le fait qu'il n'est pas défini en 0, mais comme on parle de fonction dérivable, on arrive à chaque fois à prolonger. Ai-je dit autre chose ? J'essaie d'être rigoureux autant que possible En tant que matheux, logique !



Finalement, ça veut dire que si le taux d'accroissement en du taux d'accroissement en a bien une limite (en considérant bien sûr que le premier taux ait pu être prolongé grâce à la dérivée première), alors on peut considérer que la fonction est deux fois dérivable en ce point ?

Je ne m'avancerais pas sur la réciproque. Je n'en sais rien du tout :triste:

Ce n'est pas prouvé, en tout cas.