Hypothèse nécessaire ?

[Trident]

Salut à tous. Je suis tombé sur l'exercice suivant :

Soit f : R -> R une fonction continue périodique admettant une limite finie l en +oo. Montrer que f est constante.

Sauf que pour moi, l'hypothèse "continue" n'est pas nécessaire mais peut être que je me trompe.

Assez rapidement (en n'étant volontairement pas rigoureux), j'expose mon raisonnement.

Soit x dans R. Je veux montrer que f(x)=l.

Soit eps > 0. Si je montre que | f(x)-l| < eps, c'est gagné car esp est quelconque.

Je sais que j'ai un rang M tel que pour tous les y>M, |f(y)-l| < eps. Sauf que comme f est périodique de période T > 0 disons, en prenant k assez grand, x+kT dépasse M. Donc |f(x+kT)-l| < eps. Sauf que f(x+kT)=f(x) donc |f(x)-l|
Je ne pense pas avoir utilisé de façon déguisée l’hypothèse continue mais j'ai un doute vu les hypothèses de l'énoncé.

[ARIMA]

Bonjour,
effectivement l'hypothèse n'est pas nécessaire.

En fait, si tu peux extraire deux sous suites qui ne sont pas convergentes vers la même limite c'est gagné. Puisque f est périodique et si on suppose que f soit non constante alors il existe deux points x et y tels que f(x)!=f(x). Ainsi

x_n=f(x+nT)=f(x) pour tout n
y_n=f(y+nT)=f(y) pour tout n

Pourtant, x_n et y_n convergent vers la même limite, donc f(x)=f(y), contradiction...

[lulubibi28]

euh ... f(x) = f(y) , çà voudrait dire que l'image de la fonction (y) est égale à la fonction elle-même , je ne vois que la fonction y = x ...

Mais l'énoncé dit fonction continue périodique donc une fonction trigonométrique , mais laquelle ? :doh:

[ARIMA]

euh ... f(x) = f(y) , çà voudrait dire que l'image de la fonction (y) est égale à la fonction elle-même , je ne vois que la fonction y = x ...

????

Quelle fonction y? Il n'a jamais été question de fonction y...

Mais l'énoncé dit fonction continue périodique donc une fonction trigonométrique , mais laquelle ? :doh:

????
Une fonction périodique n'est pas nécessairement une fonction trigonométrique ...

[lulubibi28]

Merci pour l'info *.*

[Ben314]

Salut,
Je ne suis pas certain que ce soit très pertinent, mais je rajouterais bien que le terme de "fonction trigonométrique" n'a, à mon sens, pas de définition bien précise en mathématiques.

Je pense que tout le monde va être d'accord pour dire que les fonction sinus, cosinus et tangente sont des "fonction trigonométrique", mais je ne sais pas si par exemple ArcTan est une "fonction trigonométrique", ni d'ailleurs x->cos(3x)-sin(8x) ou une fonction développable en série de Fourrier...

[ARIMA]

Salut,
Je ne suis pas certain que ce soit très pertinent, mais je rajouterais bien que le terme de "fonction trigonométrique" n'a, à mon sens, pas de définition bien précise en mathématiques.

Non effectivement, j'imagine que ce sont les fonctions qui interviennent dans les mesures du triangle, donc tout ce qui se compose, somme etc. à partir des cos et des sin.
Enfin ça reste philosophique.

[Trident]

Merci ARIMA. C'est bizarre que cet exercice intervienne dans une fiche "fonctions continues" mais me voilà rassuré!

[Ben314]

Si tu veut un exo. un peu du même style (mais quand même plus "chaud), je te propose ça :

Soit f une fonction continue périodique de R dans R. Montrer que :
a) L'ensemble des périodes de f est l'ensemble des multiples entiers (non nuls) d'un certain réel (unique)
OU BIEN
b) f est constante

[zygomatique]

salut

on peut faire le lien avec les sous-groupes de R ....

[Ben314]

salut

on peut faire le lien avec les sous-groupes de R ....

ça peut... :lol3:

[Trident]

Si tu veut un exo. un peu du même style (mais quand même plus "chaud), je te propose ça :

Soit f une fonction continue périodique de R dans R. Montrer que :
a) L'ensemble des périodes de f est l'ensemble des multiples entiers (non nuls) d'un certain réel (unique)
OU BIEN
b) f est constante

zygomatique m'a bien guidé.

Soit E = { T dans R tels que pour tout x dans R, f(x+T)=f(x) }.

Si T et T' sont dans E, T+T' est dans E. En effet, pour x réel, on a alors f(x+ (T+T') ) =f(x+T +T')=f(x+T)=f(x).
Si T est dans E, -T est aussi dans E. En effet, pour x réel, on a alors f(x-T)=f(x-T +T)=f(x).

Donc E est un sous groupe de (R,+). On distingue maintenant deux cas :

Cas 1 : f est constante. C'est fini.

Cas 2 : f n'est pas constante donc il existe a et b réels tels que f(a) != f(b).
E étant un sous groupe de R+, il s'écrit soit sous la forme avec ou il est dense dans R. L'option "dense dans R" est a écarter. En effet, si E est dense dans R, alors je peux trouver une suite de périodes qui converge vers a. Par continuité de f, la suite converge vers f(a). Or, pour tout n donc f(0)=f(a). On montre de même que f(0)=f(b) donc f(a)=f(b), ce qui est une contradiction.
Du coup, E s'écrit sous la forme avec (c'est le cours qui donne car c'est l'inf d'une partie de R+ et p_0 !=0 clairement car f est périodique donc E n'est pas vide).

Merci pour l'exercice !

[zygomatique]

tiens au fait je vois un truc ::

ben314 a écrit ..."l'ensemble des multiples entiers non nuls ...

si on peut prendre 0 ... trivialement f(x + 0) = f(x) = f(x + 0p0)

E est bien un sous-groupes additif de R ...

il ne faut donc pas oublier l'élément neutre 0 ...