Etudier le signe d'une dérivée

[Laura19]

Bonjour, je dois étudier le signe de f'(x) pour ensuite établir le tableau de variation de f mais je ne sais pas comment faire :
J'ai dérivé f(x) et j'ai trouvé f'(x)= 1/(x+1)²
Mais après ça je ne sais pas du tout quoi faire...

Merci d'avance

[siger]

Bonjour

une fonction est croissante dans l'intervalle où sa derivée est positive.
Quel est le signe de 1/(x+1)², a ton avis?

[Laura19]

Ah elle est positive. Donc ma fonction est toujours croissante ?
Mais quand je trace la courbe avec ma calculatrice ça me fais une parabole :/

[kelthuzad]

Salut,

La parabole c'est f'(x). Si tu traces f tu verras que la fonction est toujours croissante. Au passage ce n'est pas une parabole mais plutôt deux asymptotes comme f et f' ne sont pas définies en -1.
T'as fonction devait être , elle n'est pas continue sur IR mais tout le temps croissante.

[Laura19]

Mais il faut que j'étudie le signe de f'(x) donc c'est pas toujours croissant ??!

[siger]

Re

ne confonds pas tout!

f(x) = -1/(x+1) pour que la derivée soit celle que tu indiques
f'(x) = 1/(x+1)² est toujours positive (il n'y a rien a etudier dans ce cas)
donc
f(x) est toujours croissante
mais f(x) n'est pas definie pour x=-1
la fonction croit donc de 0 a +infini pour x<-1
et de -infini a 0 pour x>-1

[Laura19]

Heu... en fait f(x) = (2x+1)/(x+1)

[kelthuzad]

Pour compléter, l'important de ce rappeler est que :
Si la dérivée de f, f'(x) est positif quel que soit x alors la fonction f est croissante.

D'autres cas existent, un exemple
Si f'(x) est positif sur l'intervalle ]-infini, 0] (quel que soit x entre -infini et 0)
et f'(x) est négatif sur l'intervalle ]0, +infini[
alors la fonction f est croissante puis décroissante avec le changement en 0.

C'est pour ça que lorsqu'on veut étudier les variations de f on résout f'(x) = 0, il y a autant de changement de monotonie (croissante/décroissante) que de solutions à cette équation.

[kelthuzad]

La dérivée est donc



Le raisonnement reste bon.

[Laura19]

Donc pour étudier le signe je mets juste que f'(x) est croissante ? Je fais pas de tableau de signes ?

[kelthuzad]

Non que f'(x) est positif quel que soit x donc f est croissante.

Il ne faut rien changer de cette phrase. f'(x) n'est pas croissant, pour le savoir il faudrait calculer f''(x).

Pas besoin de tableau de signes ici, on fait un tableau quand f'(x) peut être positif ou négatif selon la valeur de x. Pour dire dans quels intervalles de x elle (f'(x)) est positif ou négatif.

[Laura19]

Ah d'accord, mais pourtant quand je trace f(x) à la calculatrice elle est pas croissante... du moins pas tout le temps.

[kelthuzad]

Re,

Si elle l'est. Quel que soit x, il existe un x' plus grand tel que f(x') > f(x) sur chaque partie continue de la fonction.

Pour que ce soit plus clair, on pourrait tout de même faire un tableau ici. Avec une double barre quand x = -1 et deux "+" pour f' et deux flèches qui montent pour f de chaque côté de la double barre.

[kelthuzad]

Un peu comme ça mais avec des flèches qui montent et la double barre en -1 et pas 0. (image récupérée sur google)