TXAX=tXBX => A=B

[PCTroyes]

Bonsoir !

Soit A, B appartenant à Mn(R)

Pour tout X appartenant à Mn,1(R)

note : tX = transposée de X.

Pour quelles conditions sur A et B on a :

tXAX=tXBX => A=B


J'y ai réfléchi et trouvé la condition : si les matrices A et B sont antisymétriques.

Quelqu'un confirme ?

[Robot]

C'est une condition suffisante, mais c'est loin d'être une condition nécessaire.
Edit : ce n'est ni une condition suffisante, ni une condition nécessaire.

Je suppose que ce que tu veux écrire, c'est en fait :

(Pour tout X, tXAX=tXBX) => A=B

Ne jamais oublier les quantifications (sinon on ne peut pas raisonner correctement)

[PCTroyes]

C'est une condition suffisante, mais c'est loin d'être une condition nécessaire.

Je suppose que ce que tu veux écrire, c'est en fait :

(Pour tout X, tXAX=tXBX) => A=B

Ne jamais oublier les quantifications (sinon on ne peut pas raisonner correctement)

Oui c'est pour tout M j'aurai du le remettre effectivement.
Il y aurait d'autres conditions suffisantes ?

[Robot]

Oui c'est pour tout M j'aurai du le remettre effectivement.

Il n'y a pas de M dans l'histoire !

Il y aurait d'autres conditions suffisantes ?

Je me suis trompé, excuse moi, "A et B antisymétriques" n'est pas une condition suffisante (en effet, si A est antisymétrique, on a tXAX=0 pour tout X).
Tu t'es peut-être trompé de signe à un moment dans ton raisonnement.

[arnaud32]

tu peux poser C= A-B
ton probleme devient pour tout X tX.C.X=0 => C=0
tu peux decomposer A et B en une matrice symetrique et une antisymetrique ...

[aymanemaysae]

Pour être honnête, ce n'est pas ma démarche mais celle que j'ai trouvée sur Internet:

a) Pour A , B appartenant à telles que pour tous X,Y , tX A Y = tX B Y , on arrive à démontrer que A = B en considérant la base canonique (, ... , ) .

b) Pour A , B deux matrices symétriques appartenant à telles que pour tout X , tX A X = tX B X, on arrive à démontrer que A = B en considérant que pour tous X,Y on a t(X + Y) A (X + Y) = t(X + Y) B (X + Y) et en utilisant la symétrie de A et B, et le résultat 'a' .

[PCTroyes]

La réponse d'Arnaud était top merci à tous !