Trigonalisation !

[barbu23]

Bonjour :
Je viens vous demander votre aide afin que vous m'expliquiez svp comment trigonaliser une matrice, concrètement.

Par exemple, considérons la matrice suivante:



Tout d'abord, j'ai déterminé le polynôme caractéristique:



On en déduit directement que est valeur propre triple de .

De là, j'ai déterminé le sous-espace propre associé à cette unique valeur propre. Je trouve . J'appelle alors .

On cherche à présent deux vecteurs et pour compléter afin de constituer une base. (D'ailleurs, une base pour la nouvelle matrice qu'on cherche à obtenir?)

Pour l'instant, on sait que (la matrice trigonalisée qu'on cherche à avoir) aura la forme:



Il nous faut donc déterminer , et , ainsi que la matrice de passage. Et c'est là que je ne sais plus comment faire, raisonner...

En espérant que vous m'aiderez à terminer et à pouvoir appliquer une méthode à tout type de matrice "semblable" à celle-ci.
Merci d'avance.

[Nightmare]

Salut :happy3:

Soit f l'endomorphisme associé. Il suffit de chercher et tels que :

et


:happy3:

[barbu23]

Bonjour "Nightmare" :
Tu pex m'expliquer brièvement le principe de trigonalisation d'ne matrice , comment on fait pour trigonaliser une matrice ... J'ai étudié la diagonalisation et la décompostion de Jordan à la fac il y'a quelques année mais sans jamais parler de trigonalisation et maintenant, j'ai besoin de celà por resoudre un problème ! je cherche en même temps un cors sympas ou on explique à l'aide des exemples la trigonalisation de manire detaillée !
Merci infiniment de votre aide !

[sniperamine]

un endomorphisme f de L(E) est dit trigonalisable s'il existe une base B de E dans laquelle la matrice de f soit triangulaire supérieure .
il y'a un théorème important à propos de la trigonalisation qui dit :
soit f appartient à L() f est trigonalisable si et seulement si son polynome caratéristique Pf est sur scindé sur K ( corps)
donc si K = C
on sait bien que C est un corps algébriquement clos donc tout endormorphisme sera trigonalisable .
si ta matrice n'est pas diagonalisable tu la trigonalises tu complètes souvent par les vecteurs de la base canonique :happy2:

[barbu23]

Merci "sniperamine" pour ta reponse !
Tu peux m'expliqer comment on complète par des vecteurs de la base canonqiue pour obtenir une matrice triangulaire ? c'est là que celà me pose problème !
Merci infiniment !

[sniperamine]

dans ton cas tu as un seul vecteur propre donc compléter par des vecteurs ne suffit pas ^^

[barbu23]

Alors, qu'est ce qu'on doit faire dans ce cas là ?
Merci d'avance pour tes reponses !

[sniperamine]

je te donne la méthode j'ai déjà trigonalisé cette matrice l'année dernière
M= 2 2 -3
5 1 -5
-3 4 0
Pm=(1-x)^3 donc trigonalisant cette matrice
on note B la bas canonique de C^3 soit f l'endomorphisme tel que [f]b=M
on cherche un hyperplan stable par f .soit B* la base duale de B d sorte que [f]b* = tM( transposée de M) on a Pm=Ptm=(1-x)^3 . 1 est donc valeur propre de tf .recherchons en un vecteur propre de u.
si U désigne la matrice colonne de u dont les éléments sont les coordonées de u dans la base B* on a tf(u)=u <=> tMU=U donc en résolvant le système tMU=U on trouve que U =(-2 1 1 ) .l'orthogonal H de Cu est dans C^3 est stable par f
H n'est autre que keru={-2x+y+z=0} dont B1 ={(1,0,2),(0,1,-1) forme une base on trouve f(e1)=-4e1-5e2 et f(e2)=5e1+6e2 donc [f/H]b1 = ( -4 5
-5 6
tu peux continuer si t'as compris le principe sinon tu me tiens au courant

[sniperamine]

tu trigonalises encore [f/H]b1 = L par exemple donc LY=Y =) Y=(1 1)f(e1+e2)=e1+e2 on pose e'1=e1+e2 et e'2 = e2
on complète par e'3 ( base canonique) de telle sorte que b'=(e'1,e'2,e'3) soit une base et tu calcules f(e'1) f(e'2) f(e'3) et voilà ta matrice :we:


[f]b' = T

[barbu23]

Merci " sniperamine" por ces precisions :happy2:
Il y'a un truc que j'ai pas compris dans ton message : tu dis : l'orthogonal H de Cu est dans C^3 .. C'est quoi Cu ?
Je crois commencer à comprendre ton principe ! J'aimerai savoir si on applique ta methode pour toute autre matrice trigonalisable quelconque ! Est ce que c'est une methode générale ?
Merci infiniment !

[sniperamine]

oui il y'a d'autres méthodes mais je prefère celle là ben Cu ( C c'est le corps complexe et u le vecteur propre de la transposée de M

[yos]

Il nous faut donc déterminer , et , ainsi que la matrice de passage.

Tu écris puis qui donne le système ...

[barbu23]

oui il y'a d'autres méthodes mais je prefère celle là ben Cu ( C c'est le corps complexe et u le vecteur propre de la transposée de M

Ah , d'accord ! Merci !! :marteau: :happy2:

[sniperamine]

de rien :)

[barbu23]

Tu écris puis qui donne le système ...

Merci "yos" !