Bonjour
J'aimerai savoir quelle est la définition d'une transformation projective et comment on peut trouver une telle transformation
merci
Transformation
13 messages
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par Ben314 » 13 Avr 2014, 12:30
J'ai un peu l'impression que tes questions... tournent en rond...
Bon, RAPPEL (pour la 10em fois...) : un espace projectif P de dim n sur un corps K, c'est (du verbe être...) un espace vectoriel E de dim n+1 sur le corps K sur lequel on a considéré qu'un "point projectif", c'était une droite vectorielle.
De façon plus pédante, on a quotienté E\{0} par la relation uRv ssi u et v sont colinéaires.
Donc, de façon pas trop surprenantes, les "bonnes" applications entre deux espaces projectifs P et P' correspondant aux e.v. E et E', ben c'est les applications linéaires de E dans E'.
Le seul truc auquel il faut faire gaffe, c'est que ces applications doivent obligatoirement envoyer une droite vectorielle sur une droite vectorielle pour qu'on puisse passer "au quotient" et cela signifie qu'elles doivent être injective.
Ensuite, un autre truc trivial, c'est que si on remplace l'application linéaire f:E->E' par lambda.f, ben en projectif, ça fera la même application vu que la droite engendrée par v et lambda.v est la même.
Un "mini calcul" montre qu'en fait, si deux applications linéaires (injectives) f et g coïncident une fois passées au quotient (i.e. vues en projectif), c'est obligatoirement que f=lambda.g.
Bilan : l'ensemble des homographies de P dans P' (i.e. des "transformations projectives"), c'est l'ensemble des injections linéaires de E dans E' quotienté par fRg ssi g=lambda.f
Si P=P', s'est donc GL(E) quotienté par son centre (que l'on note PGL(E))
Bon, RAPPEL (pour la 10em fois...) : un espace projectif P de dim n sur un corps K, c'est (du verbe être...) un espace vectoriel E de dim n+1 sur le corps K sur lequel on a considéré qu'un "point projectif", c'était une droite vectorielle.
De façon plus pédante, on a quotienté E\{0} par la relation uRv ssi u et v sont colinéaires.
Donc, de façon pas trop surprenantes, les "bonnes" applications entre deux espaces projectifs P et P' correspondant aux e.v. E et E', ben c'est les applications linéaires de E dans E'.
Le seul truc auquel il faut faire gaffe, c'est que ces applications doivent obligatoirement envoyer une droite vectorielle sur une droite vectorielle pour qu'on puisse passer "au quotient" et cela signifie qu'elles doivent être injective.
Ensuite, un autre truc trivial, c'est que si on remplace l'application linéaire f:E->E' par lambda.f, ben en projectif, ça fera la même application vu que la droite engendrée par v et lambda.v est la même.
Un "mini calcul" montre qu'en fait, si deux applications linéaires (injectives) f et g coïncident une fois passées au quotient (i.e. vues en projectif), c'est obligatoirement que f=lambda.g.
Bilan : l'ensemble des homographies de P dans P' (i.e. des "transformations projectives"), c'est l'ensemble des injections linéaires de E dans E' quotienté par fRg ssi g=lambda.f
Si P=P', s'est donc GL(E) quotienté par son centre (que l'on note PGL(E))
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par zork » 13 Avr 2014, 15:03
en faites je pose la question car je n'arrive pas à faire l'exo suivant:
Soit C une conique dans
et soit 
un point non singulier.
Montrer qu'il existe une transformation projective de qui envoi p dans [0,1,0] et qui applique la droite tangente à C en p dans la droite z=0
je sais que l'équation de C est:
mais comment trouver la transformation?
Soit C une conique dans
Montrer qu'il existe une transformation projective de
je sais que l'équation de C est:
mais comment trouver la transformation?
par Ben314 » 13 Avr 2014, 16:17
Enonce ton truc en terme d'espace vectoriels et... tu aura (quasiment) la solution :
Soit C la surface de K^3 d'équation et P une droite vectorielle "non singulière" de la surface.
Trouver un automorphisme de K^3 (i.e. une matrice inversible 3x3 M) qui envoie la droite P sur l'axe des y et le plan tangent à C contenant D sur le plan vectoriel z=0.
Tu réfléchis à ce que ça signifie concernant ton automorphisme et... tu conclue...
Soit C la surface de K^3 d'équation
Trouver un automorphisme de K^3 (i.e. une matrice inversible 3x3 M) qui envoie la droite P sur l'axe des y et le plan tangent à C contenant D sur le plan vectoriel z=0.
Tu réfléchis à ce que ça signifie concernant ton automorphisme et... tu conclue...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par zork » 17 Avr 2014, 19:35
il y a un truc que j'ai pas compris:
pourquoi parles tu de matrice? il faudrait une base?
pourquoi parles tu de matrice? il faudrait une base?
par adrien69 » 17 Avr 2014, 20:22
Quand tu écris x,y,z, tu supposerais pas JUSTE UN PEU que tu en as une de base ?
par adrien69 » 19 Avr 2014, 20:02
Parce que c'est plus simple à écrire qu'un automorphisme sous forme géométrique, tout simplement.
T'es en M1 Zork je me trompe ?
T'es en M1 Zork je me trompe ?
par zork » 19 Avr 2014, 20:08
oui mais j'ai pas vu cette notion de transformation projective en faite
par adrien69 » 19 Avr 2014, 20:27
C'est pas le soucis. Moi non plus. Ce n'est pas ma spécialité. Mais c'est le principe des bases/matrices. Réfléchis un peu avant de poser une question, tu progresseras plus vite (surtout que ce micro passage n'était pas bien compliqué et demandait des compétences niveau L1, L2 grand max).
par Ben314 » 20 Avr 2014, 10:54
En plus, j'ai parlé de matrice "juste comme ça" au cas où on te demande d'expliciter la transformation projective en question en fonction de a,b,c,... et des coordonnées du point projectif qu'on veut envoyer sur [0,1,0]
Si on te le demande pas, il me semble que c'est pas la peine de se "salir les mains" pour dire qu'il existe un automorphisme de k^3 qui envoie un couple (P,D)=(plan_vectoriel,droite_vectorielle_contenue_dans_le_plan) sur l'axe des y et le plan z=0.
Si on te le demande pas, il me semble que c'est pas la peine de se "salir les mains" pour dire qu'il existe un automorphisme de k^3 qui envoie un couple (P,D)=(plan_vectoriel,droite_vectorielle_contenue_dans_le_plan) sur l'axe des y et le plan z=0.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par zork » 20 Avr 2014, 11:18
dans mon cours j'ai la définition suivante pour une transformation projective:
Une transformation projective
est une bijection dont il existe une transformation linéaire inversible 
avec
où pi est la projection
et mon problème est que je ne vois pas comment utiliser cette définition dans mon problème
Une transformation projective
et mon problème est que je ne vois pas comment utiliser cette définition dans mon problème
par Ben314 » 20 Avr 2014, 12:05
Bon, ben a mon avis... y'a du boulot...
A mon avis, le premier truc à faire, c'est de commencer par tout bien lire ça :
(Modulo que ce que tu as écrit dans le post çi dessus, c'est un peu n'importe quoi vu que tu utilise la même lettre "f" pour la fonction de CP^n->CP^n et pour celle de C^{n+1}->C^{n+1} : au mini., met un tilde (comme moi) ou n'importe quoi sur une des deux fonction pour comprendre que ce ne sont pas stricto senso les mêmes fonctions !!!
Aprés, si on reprend ta définition çi dessus, chercher f:CP^n->CP^n qui envoie un point donné P de CP^n sur un autre P' et une droite donnée D de CP^n sur une autre P', ben vu ta définition, ça revient très exactement à chercher
C^{n+1}->C^{n+1} bijective linéaire qui envoie la droite vectorielle )
sur la droite vectorielle )
et le plan vectoriel )
sur le plan vectorielle )
c'est à dire à faire... ce que je disait çi dessus...
A mon avis, il faudrait que tu commence par faire les exercices "de bases" sur les espaces projectifs pour comprendre un peu "quoi c'est" que tu manipule, en particulier comprendre qu'à peu prés tout les résultats basiques, c'est tout simplement des résultats immédiats d'algèbre linéaire sur l'espace C^{n+1} que l'on "réécrit" en terme d'espace projectif.
Par exemple, pour parler du "basique de chez basique", peut me montrer que l'action l'ensemble des transformations projectives sur CP^2 agit de façon "4 transitives" dans le sens suivant : si A,B,C,D sont 4 points de CP^2 tels que 3 d'entre eux ne soient pas alignés et A',B',C',D' 4 autres points tels que 3 d'entre eux ne soient pas alignés, alors il existe une unique transformation projective qui envoie les 4 premiers sur les 4 autres.
Le résultat est évidement trés utile et il est à mettre en relation avec le fait que les applications linéaires agissent de façon 2-transitives sur le plan vectoriel (une application linéaire du plan vectoriel dans lui même est entièrement définie par l'image de deux vecteurs non colinéaires) et avec le fait que les applications affines agissent de façon 3-transitives sur le plan affine (une application affine du plan affine dans lui même est entièrement définie par l'image de trois points non alignés)
A mon avis, le premier truc à faire, c'est de commencer par tout bien lire ça :
et de bien comprendre que ça que ça dit, c'est très exactement la même chose que... ce que j'ai écrit 3 posts plus haut...zork a écrit:Une transformation projectiveavec
où pi est la projection
(Modulo que ce que tu as écrit dans le post çi dessus, c'est un peu n'importe quoi vu que tu utilise la même lettre "f" pour la fonction de CP^n->CP^n et pour celle de C^{n+1}->C^{n+1} : au mini., met un tilde (comme moi) ou n'importe quoi sur une des deux fonction pour comprendre que ce ne sont pas stricto senso les mêmes fonctions !!!
Aprés, si on reprend ta définition çi dessus, chercher f:CP^n->CP^n qui envoie un point donné P de CP^n sur un autre P' et une droite donnée D de CP^n sur une autre P', ben vu ta définition, ça revient très exactement à chercher
A mon avis, il faudrait que tu commence par faire les exercices "de bases" sur les espaces projectifs pour comprendre un peu "quoi c'est" que tu manipule, en particulier comprendre qu'à peu prés tout les résultats basiques, c'est tout simplement des résultats immédiats d'algèbre linéaire sur l'espace C^{n+1} que l'on "réécrit" en terme d'espace projectif.
Par exemple, pour parler du "basique de chez basique", peut me montrer que l'action l'ensemble des transformations projectives sur CP^2 agit de façon "4 transitives" dans le sens suivant : si A,B,C,D sont 4 points de CP^2 tels que 3 d'entre eux ne soient pas alignés et A',B',C',D' 4 autres points tels que 3 d'entre eux ne soient pas alignés, alors il existe une unique transformation projective qui envoie les 4 premiers sur les 4 autres.
Le résultat est évidement trés utile et il est à mettre en relation avec le fait que les applications linéaires agissent de façon 2-transitives sur le plan vectoriel (une application linéaire du plan vectoriel dans lui même est entièrement définie par l'image de deux vecteurs non colinéaires) et avec le fait que les applications affines agissent de façon 3-transitives sur le plan affine (une application affine du plan affine dans lui même est entièrement définie par l'image de trois points non alignés)
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