Transcendance de cos(Pi/7) ?

[DedenK]

Bonjour,

Je suis en train de chercher les lignes trigonométriques de cos(Pi/7) à partir de la méthode standard des racines septièmes de l'unité, mais je bloque lors de la résolution de l'équation de degré 3 qui en résulte et me demandais si cos(Pi/7) ne serait pas transcendant (non algébrique)...
Quelqu'un a une idée ? Merci.

Cordialement, DedenK.

[busard_des_roseaux]

est:


- non transcendant car racine d'une équation de degré 7
- non exprimable avec des radicaux
- non constructible à la règle et au compas,
sinon le serait et l'heptagone aussi,
or ce n'est pas le cas.

[DedenK]

Merci.
En fait, je voulais surtout savoir si c'était exprimable à l'aide de radicaux, et je pensais que c'était équivalent à transcendant... erreur, semble-t-il.
Cordialement, DedenK.

[nuage]

Salut,
juste une remarque : est exprimable à l'aide de radicaux (dans ).
En effet

Car 0 est l'isobarycentre de l'heptagone formée des points .
On en déduit avec un peu de trigo que est une des solutions de
.

[busard_des_roseaux]

nuage,
ah oui, il y a plusieurs notions (je suis en passe d'oublier),
pour un nombre réel:

- T: transcendants: pi,e,nombres de Liouville..
- A: algébriques,ie, racine d'une équation à coefficients dans Z
- R: exprimable par radicaux, ie, à l'aide puissance fractionnaires
- C: constructibles à la règle et au compas

peux-tu me confirmer ?

avec inclusion stricte
C et A sont des corps. R, je n'en sais rien.
pour il s'exprime comme racine carrée
de et ce dernier est racine d'une équation de degré 3 donc calculable avec des radicaux grâce aux formules de Cardan.

[busard_des_roseaux]

est:
- non exprimable avec des radicaux

Pour confirmer ce qu'écrit Nuage, n'est pas constructible à la règle et au compas mais s'exprime avec des radicaux,ie, à l'aide d'une racine carrée de sommes de racines cubiques
de sommes de rationnels. :hum:

[yos]

R est le corps obtenu en adjoignant à Q les racines d'ordre une puissance de 2.

[busard_des_roseaux]

R est le corps obtenu en adjoignant à Q les racines d'ordre une puissance de 2.

On obtiendrait alors le corps des nombres réels "constructibles à la règle et au compas" nombres qui se construisent comme des coordonnées de points d''intersections de cercles ou droites. Parce que sinon, comment faire pour considérer les racines cubiques (cf formule de Cardan) ?

De plus, est dans R et pas dans C.

[Luc]

Bonsoir,

En fait pas tout à fait: le corps des nombres constructibles à la règles et au compas ne contient pas tous les nombres algébriques d'ordre une puissance de 2. Un contre-exemple pour le degré 4 est donné dans Carréga pour P=X^4-X-1.
Ce qui est vrai c'est que tout nombre constructible est algébrique et son degré est une puissance de 2.

PS: Désolé d'upper un vieux topic pour ça, je passais par hasard

Luc

On obtiendrait alors le corps des nombres réels "constructibles à la règle et au compas" nombres qui se construisent comme des coordonnées de points d''intersections de cercles ou droites. Parce que sinon, comment faire pour considérer les racines cubiques (cf formule de Cardan) ?

De plus, est dans R et pas dans C.

[yos]

Je n'ai pas dit "les nombres algébriques d'ordre une puissance de 2" mais "les racines d'ordre une puissance de 2", les si tu préfères.
.
Edit : R n'est pas le corps des réels.

[DedenK]

Merci à Luc de passer par les différents topics que j'ai laissés... lool

Sinon, je dois dire que j'ai un peu honte de poser ce genre de questions (comme celui de hier, par exemple), alors que je connais pertinemment la réponse !! ...si ce n'est que la tête en plein dans d'épineux problèmes, j'en oublie les propriétés élémentaires... il faut parfois savoir se détacher de son labeur et prendre un peu de hauteur pour se rendre compte à quel point on peut s'interroger sur des choses qu'on sait déjà et écrire des âneries !! :-)
En tous cas, merci à tous pour ces aimables contributions.

PS : pour répondre à busard_des_roseaux, il me semble que R, l'ensemble des exprimables par radicaux, est un sous-corps du corps des réels en vérifiant les différentes propriétés de sommes, produits et inverses... n'est-ce pas évident ?