Dl

[canard]

Bonjour

Je cherche le Développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction (x)^1/2
et je voudrais savoir si la fonction Ln admet un DL à l'ordre 2 en tout point x>0

[Chimerade]

Je cherche le Développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction (x)^1/2
et je voudrais savoir si la fonction Ln admet un DL à l'ordre 2 en tout point x>0

Pour se rappeler ce genre de formule, il est utile de faire un lien avec les dérivées successives de .
La dérivée de est
La dérivée seconde de f(x) est : et ainsi de suite :
La dérivée k-ième de f est :

formule que l'on peut écrire :


Notons que la formule est valable même si n n'est pas un entier !

Ceci étant rappelé, voyons la formule de Taylor-Young :

avec
C'est bien cette formule qui permet d'obtenir les développements limités des fonctions.
Si l'on applique cette formule à , on obtient :

avec
...formule que l'on peut encore écrire :

avec
ou encore, si n est un entier :


Cette dernière formule évoque irrésistiblement la formule du binôme de Newton, et ce n'est évidemment pas un hasard :


La formule du binôme ne concerne que les exposants n entiers. Mais la formule de Taylor Young est valable pour toutes les fonctions, plus particulièrement pour les fonctions du type avec n réel quelconque !
Ecrite sous la forme :

la formule n'est valable que pour n entier puisqu'elle utilise le signe de la factorielle (encore que l'on pourrait quand même la rendre valable pour n réel à condition d'étendre les factorielles aux réels, mais je n'entrerai pas dans ces considérations).
Par contre écrite sous la forme :

la formule est valable même si n n'est pas un entier.
C'est ce qu'il faut retenir pour obtenir les développements limités des fonctions du type .
Venons-en à ta question : développement limité de au voisinage de :


soit :


Bien entendu, cette formule n'est applicable que là où la fonction est infiniment dérivable, c'est à dire pour > 0 !

je voudrais savoir si la fonction Ln admet un DL à l'ordre 2 en tout point x>0

La fonction Ln est infiniment dérivable en tout point x>0. Elle admet donc un développement limité en ces points.

[canard]

Merci beaucoup