Dl

[Sylar]

Rebonsoir:
Soit f:R-> R l'application définie par f(x)=2x +sin{x}. Calculer le dl_3(0) de f^{-1} après avoir prouvé son existence.
Ce qui me bloque c'est que j'ai jamais déterminé de développement limité de l'inverse d'une fonction,ici je saurai déterminer celui de f mais celui de f^(-1);j'ai pas trop d'idées.
Merci...

[kazeriahm]

bon tu as prouvé l'existence de f-1 et de son dl a l'ordre 3 ?

tu peux calculer facilement le premier terme de ce dévelopement, le deuxième aussi grace au théorème de dériation des fonctions réciproques.

Pour obtenir les deux derniers termes de ce dl, tu peux dire que :

f-1(0)=0 (car f(0)=0), donc en considèrant le dl de f en 0, tu as f(f-1(x))=x, f-1(x) tend vers 0, tu remplace dans le dl de f et tu identifies...

plus précisèment,

on a f-1(x)=a*x+b*x^2+c*x^3+o(x^3) pour x voisin de 0

f(u)=3*u^-u^3/6+o(u^3)

f(f-1(x))=x=3*u^-u^3/6+o(u^3) pour x voisin de 0 avec u=f-1(x)

ensuite tu utilises le dl de f-1 et tu identifies.

[Sylar]

Pour prouver l'existence de f^(-1) je sais pas comment justifier.
J'aurai tendance a dire que f est de classe C(3).....

[kazeriahm]

f est clairement C infini mais ca ne justifie en rien l'existence f-1 et encore moins d'un dl de f-1 a quelque ordre que ce soit.

Methode :

1) Pour montrer que f-1 existe il faut et il suffit de verifier que f est bijective (ici de R dans R),pour cela montrer que f est continue, strictement monotone et a pour ensemble d'arrivée R tout entier

2)pourmontrer l'existence d'un dl à l'ordre 3 il suffit (et il faut?) de montrer que f-1 est C3, pour cela utiliser le théorème de dérivation des fonctions réciproques que tu as vu en première année

ceci fait pour trouver les coefficients de ce dl plusieurs méthodes mais je crois que celle sus citée est une des plus rapides

j'espere que ca ira

[Sylar]

f(x)=x+sin(x)

f'(x)=2+cos(x)

[kazeriahm]

tu as oublié le 2

mais meme si c'était bien f=x+sin x, la dérivée est de signe constant et s'annule de manière "discrète" donc c'est bon (elle s'annule en des points isolés et est toujours positive donc forcèment la fonction est strictement croissante, do you know what i mean ?)

[Sylar]

f^(-1) de classe C3 <=> f de clase C3 + f' ne s'annulle pas............
Or f est clairement de classe C3 donc c'est bon....

[kazeriahm]

exact .

[Sylar]

Oui je vois merci beaucoup.