E.v

[sue]

Bonjour,

je viens de voir les e.v et j'aimerai savoir comment on résout ce genre d'exo :
soit E l'ensemble des matrices M(a.b.c) avec a.b.c £ R .

posons , ,
soit : et
1) calculer (discuter selon n)
2) déterminer les coordonées de dans la base .
3) soient , et les coordonnées de , calculer , , .

donc voilà ce que je vois pour le moment :
1) je crois qu'il faut discuter selon la parité du n et on utulisant le binôme :

d'autre part on remarque que et (matrice zéro)
donc si n est pair
sinon j'obtiens une formule que j'arrive pas à simplifier :hein:
2) (I, J, K) est une base de (E,+,.) , M(a,b,c)=aI+bJ+cK , mais bon aprés je bloque , je crois qu'il faut expliciter dans ce cas celà dépend de la question précédente .
3) je vais pouvoir y répondre si j'arrive à faire la précédente :we:

des indices svp ?

MERCI

[Ted]

Je pense que l'égalité de la premiere question se simplifie énormément.
A mon avis il y a 4 résultats interressant
JK=0; KJ=0; KK=0; JJ=K.
Cela veut dire que dans la formule du binome (qui peut etre utilisée car J et K commutent!) dès que l'on a un produit avec K on a un terme nul!
J'en déduis à vue de nez qu'il ne peut rester que les termes en K^1*J^0=K , K^0*J^1=J et J^2*K^0.
Resterait qu'à retrouver pour quelles valeurs de n on retrouve de tels cas.

Comme c'est un résultat "à vue de nez", il faut l'analyser avec précaution. Je te laisse te débrouillé avec ça le temps que j'y regarde de plus près si je n'ai pas oublié certains cas.

Bon je vois pas d'autre alternatives... Alors je continue un peu:
les trois termes K^1*J^0=K , K^0*J^1=J et J^2*K^0 ne se trouve dans le binome que si n=1 ou 2 (à cause du k^i*j^(n-i) et i+n-i=n)
donc pour toute valeur de n superieur à 2 le binome est nul!
Donc pour 1 et 2, ça devient facile de trouver le résultat.

Pour la deuxième question, je pense qu'il faut explicité la matrice en fonction du binome.
Je vois cela comme ça M(a,b,c)=aI+bJ+cK.
Je pense que réappliqué le binome à aI et (bJ+cK) devrait donner la solution (à condition bien sûr que aI et bJ+cK commutent, ce qui ne semble pas poser de problème "àvue de nez" :!: ).
On devrait donc retrouver des puissances de (bJ+cK), et on réinjecte donc le résultat précédent.

Pour la dernière question, il faut remettre tout en ordre et appliqué des résultats sur les limites.
Je pense que tu devrais tomber sur des résultats connus à cause du 1/(n!).

[sue]

bonsoir Ted ,

merci bien !

bon voilà ce que je trouve pour les calcules :
1)
2)
soit

mais bon ces résultats me semblent un peu bizarre :hein: nan?

[Ted]

je pense pas que tu ais bien compris la formule du binome...
en fait dans la formule tu as les produits J^i*K^(n-i) pour i entre 0 et n!
Donc le produit J^0*K^1, n'apparait que si n=1 et i=0
Or n est fixé, donc dès que n est différent de 1 le J^0*K^1 n'intervient pas.

Pour etre plus clair, essaye d'écrire (bJ+cK)^n pour n=1,2 et 3. Tu devrais voir tout de suite de quoi je parles.
Tu devrais aussi te rendre compte du résultat final.

[buzard]

Bonsoir,

1) On te demande d'étudier suivant n, c'est pas pour rien.
n=0, 1, 2, 3, ...

2) u_n est en faite le n-ième terme de la série v_n qui n'est autre que l'expansion en série de e^M (l'exponentiel de M)

3) le but de l'exercice consiste à calculer la valeur de e^M

pour une matrice on définie l'exponentielle comme la somme de la série :

cette série est convergente car normalement convergente :

Pour calculer la somme on utilise le faite que M, en tant que matrice d'un endomorphisme d'e.v. de dimension n, possède un polynôme minimale P (d°P

Dans ton cas c'est plus simple, le polynôme caractéristique de M vaut (X-a)^3 donc son polynôme minimale suivant les valeurs de a, b et c ne peut-être que :


donc pour n>=3, (M-aI)^n=0 ce qui simplifie vachement le bousin,

Dans le cas générale, on préfère diagonaliser et alors

[sue]

oui je vois que j'ai mélangé tout !! désolée..
mais franchement là je suis perdue avec tout ces calculs et je ne crois pas avoir tt compris .
je que j'ai compris moi c que si n est supérieur à 2 la somme est égale à 0 .
sinon il faut calculer la somme allant de i=0 jusqu'à 2 , non?

[sue]

je pense pas que tu ais bien compris la formule du binome...
en fait dans la formule tu as les produits J^i*K^(n-i) pour i entre 0 et n!
Donc le produit J^0*K^1, n'apparait que si n=1 et i=0
Or n est fixé, donc dès que n est différent de 1 le J^0*K^1 n'intervient pas.

Pour etre plus clair, essaye d'écrire (bJ+cK)^n pour n=1,2 et 3. Tu devrais voir tout de suite de quoi je parles.
Tu devrais aussi te rendre compte du résultat final.

je vois que j'ai tt mélangé !! désolée..
mais franchement je suis un peu perdue avec tt ces calculs et je ne te suis pas bien .
moi ce que je comprends c que si n est sup à 2 la somme vaut 0 .
sinon faut calculer la somme allant de i=0 à 2 . nan?

buzzard --- je ne comprend pas lpein de chose dans ton explication , par exemple relation entre matrices et polynomes ? diagoniser ?..etc . Bref on ne vois que les bases en TS . mais ça m'interesse de savoir tout ça .

merci quand meme à vous
je regarderai cet exo demain , la tête reposée , car là j'dis n'importe quoi ..

bonne soirée !

[sandrine_guillerme]

Bonsoir,

1) On te demande d'étudier suivant n, c'est pas pour rien.
n=0, 1, 2, 3, ...

2) u_n est en faite le n-ième terme de la série v_n qui n'est autre que l'expansion en série de e^M (l'exponentiel de M)

3) le but de l'exercice consiste à calculer la valeur de e^M

pour une matrice on définie l'exponentielle comme la somme de la série :

cette série est convergente car normalement convergente :

Pour calculer la somme on utilise le faite que M, en tant que matrice d'un endomorphisme d'e.v. de dimension n, possède un polynôme minimale P (d°P

Dans ton cas c'est plus simple, le polynôme caractéristique de M vaut (X-a)^3 donc son polynôme minimale suivant les valeurs de a, b et c ne peut-être que :


donc pour n>=3, (M-aI)^n=0 ce qui simplifie vachement le bousin,

Dans le cas générale, on préfère diagonaliser et alors

Bonsoir à vous tous !

:doh: je suis drolement ébluie par la méthode de Buzard, vraiment très très élégante , bravo ...... !
encore bravo !

sue ! tu veux qu'on t'explique quoi au juste ?

mais je ne te conseille pas de voir ça maintenant, c'est de la pure théorie de l'algébre linéaire alors que toi tu viens de commencer les ev .. ça serait comme si tu tenterais d'expliquer à un petit qui vient de commencer l'addition (l'algorithme RSA) c'est infaisable! (pourtant c'est ce que je dois faire le 4mai )

je te conseille de plutot appprofondir tes notions sur les ev .. et oublier ceci pour l'instant!

mais ceci dis tu fais ce que tu veux .. si tu sens que tu as bien tout digéré personne ne t'empêcheras !

[sandrine_guillerme]

Je rajoute que les indications de Ted, sont clairement suffisante, et très bonne ...certes, il n'a pas trop insisté sur le fait que la commutativité est très important (il faut la vérivier, surtout ànotre niveau, ... ) car tu risque comme ce que j'avais dis avec les prof de la vielle écol .. bah tu risque -1 quoi..
a toi de choisir , ça ne fais pas de mal de vérifier si?

[Ted]

Effectivement si n est superieur à 2 le binome devarit etre nul.
Mais pour t'en convaincre je te conseille de dévelloper completement (bJ+cK)^n pour n=1,2 (de toute façon tu seras bien obligée et c'est pas très long) mais aussi pour n=3.
Avec toutes les explications précédentes tu devrais voir facilement pourquoi (bJ+cK)^3 fait 0.
Et dès que tu auras mis de l'ordre dans tes idées ce sera à toi d'expliquer pourquoi (bJ+cK)^n=0 si n est superieur à deux!

d'ailleurs je vais te montrer le dévellopement pour n=3
sauf erreur:

(J+K)^3=J^3+3J^2K+3JK^2+K^3
(tu remarqueras que dans chacun des 4 terme, la somme des puissances de J et K est toujours 3!)
Maintenat j'annule tout
J^3=JJ^2=JK=0
J^2K=K^2=0
JK^2=(JK)*K=0*K=0
K^3=KK^2=K0=0
d'ou (J+K)^3=0
tu remarques que des que j'ai un produit avec K ou J^2 le terme est nul d'après ce que l'on a dit avant!
A toi d'expliquer ça pour les valeurs de n superieures à 3

[Ted]

Pour la commutativité j'ai bien ajouté que je la suppose à vue de nez!
Un bon exercice sera celui ou tout les "à vue de nez" sont prouvés évidemment.

[sue]

désolée Ted , je suis vraiment fatiguée là !
je te remercie bien pour tous ces explication , je vais tout regardé demain et je te tiens au courant .

bonne soirée !

[sandrine_guillerme]

Re bonsoir
allez j'en profite pour t'éclaire ce que Ted te racontais !
sue
comment et pourquoi démontre tu la commutativité ? et sais tu la formule du binome de Newton?

prends exemple pour les réllées
(a+b)^2 = a^2 +ab+ba+b^2 = a^2 +b^2 +2ab

donc ici on a addtionné les deux termes ab et ba car on sais que la multiplication dans R est commuatative, malheureusement, ça ne marche pas dans l'ev des matrices ! et donc pour trouver le binome .. on doit se rassurer si on a le droit de le faire ou pas .. et donc je te laisse calculer le produit des deux matrice deux à deux bj et ck et regarde si bJcK = ckbJ ..

et réponds nous, si tu vois ce qu'on veut dire ?

[sue]

salut :we:

désolée pour hier je vous ai fatigué , vous avez tenté de m'expliquer par tous les moyens et moi j'avais complétement la tête ailleurs ..

alors récapitulons..
1) soit
pour n=1 pour n=2
or n=3
avec une petite reccurence (la propriété est vraie pour n=3 et )
2) j'ai besoin d'autres indices svp pour cette question , j'arrive pas à sommer les termes ,...
sinon sandrine j'ai vérifié que aI et bJ+kc commutent donc je pense qu'il ya pas de problème pour appliquer le binome .

merci

[sandrine_guillerme]

Pour la deuxième question, je pense qu'il faut explicité la matrice en fonction du binome.
Je vois cela comme ça M(a,b,c)=aI+bJ+cK.
Je pense que réappliqué le binome à aI et (bJ+cK) devrait donner la solution (à condition bien sûr que aI et bJ+cK commutent, ce qui ne semble pas poser de problème "àvue de nez" ).
On devrait donc retrouver des puissances de (bJ+cK), et on réinjecte donc le résultat précédent.

Coucou sue !

en fait explicite la mtrice comme l'a indiqué Ted, et applique ton binom en vérifiant la commutativité, ça te fais un bon entrainement pour que tu t'en rappel pour l'ecrire sur ta feuille bien entendu, il ne faus pas dire que c'est c'est vérifié, il faut le faire autresment.. et une fois c'est fait tu le réinjecte dans le résultat précédant exactement comme Ted l'avait dis !

[sue]

ok , mais le me pose problème , il n'intervient pas dans la formule du binome !

[sandrine_guillerme]

Soyons plus concrète,

écris moi ce que tu as fais là .. parceque je ne vois pas ce que tu veux me dire .. ! enfin à moins que tu ais pas d'autre choses à faire, (svt à réviser par exemple :lol4: )

[sue]

Bonjour sandrine :we: (on est matinale )

d'accord ..voilà ce que je voulais dire :
on a
donc :
est-ce bon ?

alors aprés on a est la somme des n premiers termes de , le problème c qu'il y a dans l'expression de le facteur !

[sandrine_guillerme]

moi je ne suis pas matinale !

(j'ai pas encore dormi )

j'ai regardé à tête reposée ce que tu disais dès le début, je vois que tu as très bien compris !

et puis c'est bien rédigé mais je ne vois toujours pas où tu mentionnes la commutativité, tu devrais vraiment faire attention !
donc ceci achève la question 1, pour la quelstion 2, il tu as presque compris (c'est vraiment très bien !) mais tu n'as pas bien factoriser, quand tu vires les termes pour le n> 3 il te reste pas n! au dénominateur .. et ça ce n'est pas bien grave car tu as l'idée,

et pour le 3, je suis en train de regarder une autre méthode que celle de buzard, mais je ne sais pas vraiment .. l'énoncé est clair, le but c'est de calculer l'expansion d'une matrice chose qui est parfaitement hors programme pour toi, alors je réfléchis ..

[sue]

mais tu n'as pas bien factoriser, quand tu vires les termes pour le n> 3 il te reste pas n! au dénominateur

désolée mais je vois pas le problème de factorisation , qd je vire la somme de i=3 à n , il reste le facteur pour la somme de i=2 à 2 !


ps: pas encore dormi ! voyons sandrine il faut que tu te repose un petit peu :doh: