[MPSI][Ensembles]

[Anonyme]

Soit f, une application de P(E) dans P(E) telle que:
f(X)=f(X)UA (avec A une partie de E)
A quelle condition sur A, f est-elle injective? surjective?
-------------

En partant de la définition de l'injectivité, j'arrive à la conclusion que A
doit être inclue dans X. Comme X est une partie quelconque de E, en
particulier X peut-être l'ensemble vide.
Donc, A doit être l'ensemble vide.

Mon résultat me parait bizarre, sachant que je trouve la même chose (A doit
être vide) pour le cas de la surjection. Quelle est mon erreur (s'il y en a
une)?

[Anonyme]

On 2004-12-03, Sankha wrote:
> Soit f, une application de P(E) dans P(E) telle que:
> f(X)=f(X)UA (avec A une partie de E)
> A quelle condition sur A, f est-elle injective? surjective?
> -------------
>
> En partant de la définition de l'injectivité, j'arrive à la conclusion que A
> doit être inclue dans X. Comme X est une partie quelconque de E, en
> particulier X peut-être l'ensemble vide.
> Donc, A doit être l'ensemble vide.
>
> Mon résultat me parait bizarre, sachant que je trouve la même chose (A doit
> être vide) pour le cas de la surjection. Quelle est mon erreur (s'il y en a
> une)?

Non non, c'est bien ça. Si f injective, alors f(A) = A U A = A = f(0)
donc A = 0, et si f surjective, alosr il existe Y, f(Y) = 0, soit
A U Y = 0 donc A (et Y) sont vides.

--
Frédéric

[Anonyme]

Frederic a écrit:
> On 2004-12-03, Sankha wrote:
>[color=green]
>>Soit f, une application de P(E) dans P(E) telle que:
>>f(X)=f(X)UA (avec A une partie de E)
>>A quelle condition sur A, f est-elle injective? surjective?
>> -------------
>>
>>En partant de la définition de l'injectivité, j'arrive à la conclusion que A
>>doit être inclue dans X. Comme X est une partie quelconque de E, en
>>particulier X peut-être l'ensemble vide.
>>Donc, A doit être l'ensemble vide.
>>
>>Mon résultat me parait bizarre, sachant que je trouve la même chose (A doit
>>être vide) pour le cas de la surjection. Quelle est mon erreur (s'il y en a
>>une)?
>
>
> Non non, c'est bien ça. Si f injective, alors f(A) = A U A = A = f(0)[/color]
D'où tu sors ces égalités ? Injective ne veux pas dire f(A)=A...

[Anonyme]

On 2004-12-04, Paul Delannoy wrote:
> Frederic a écrit:[color=green]
>> On 2004-12-03, Sankha wrote:
>>[color=darkred]
>>>Soit f, une application de P(E) dans P(E) telle que:
>>>f(X)=f(X)UA (avec A une partie de E)
>>>A quelle condition sur A, f est-elle injective? surjective?
>>> -------------
>>>
>>>En partant de la définition de l'injectivité, j'arrive à la conclusion que A
>>>doit être inclue dans X. Comme X est une partie quelconque de E, en
>>>particulier X peut-être l'ensemble vide.
>>>Donc, A doit être l'ensemble vide.
>>>
>>>Mon résultat me parait bizarre, sachant que je trouve la même chose (A doit
>>>être vide) pour le cas de la surjection. Quelle est mon erreur (s'il y en a
>>>une)?
>>
>>
>> Non non, c'est bien ça. Si f injective, alors f(A) = A U A = A = f(0)[/color]
> D'où tu sors ces égalités ? Injective ne veux pas dire f(A)=A...[/color]

Au lieu de quoter n'importe comment, tu pourrais recopier ma ligne comme
il faut :
f(A) = A U A = f(0) donc A = 0, et c'est ce dernier « donc » qui
utilise l'injectivité.
Et les « égalités » dont tu voudrais savoir d'où elles sortent, elles
sortent de la définition de f.

Merci de ne plus me faire dire ce que je n'ai pas dit.

[Anonyme]

Frederic a écrit :
[color=green][color=darkred]
> > > On 2004-12-03, Sankha wrote:
> > > > f(X)=f(X)UA (avec A une partie de E)[/color][/color]

> f(A) = A U A = f(0) donc A = 0, et c'est ce dernier « donc » qui
> utilise l'injectivité.
> Et les « égalités » dont tu voudrais savoir d'où elles sortent, elles
> sortent de la définition de f.

Pour moi tu as mal lu la définition, ou alors tu pourrais détailler...

Moi je lis f(x) = f(X) U A, ça veut juste dire que f(X) contient A pour
tout X. Tout ce qu'on sait c'est que f est à valeurs dans les
surensembles de A (dans E) qui est "A U P(E\A)" (càd { A U X où X \in
P(A\E) }). Je doute que ça définisse f de manière unique. L'existence de
fonctions injective et surjective dépend de la cardinalité relative de
P(E\A) (où '\' désigne la soustraction ensembliste) et de P(E). Donc de
celle de E\A et de E. Me gourai-je encore ?

--
Nico.

[Anonyme]

Bon, on va dire que j'ai réussi à prouver ma propriété. J'ai d'abord donné
les conditions que devait satisfaire A dans chacun des cas, et j'ai ensuite
supposé que A était l'ensemble vide. Enfin, j'ai prouvé par implication que:
"A vide=> f surj (resp inj) et que f surf (resp inj) => A vide"

Donc je pensais m'en être sorti! Seulement voilà, il y a une dernière
question:
*
"On pose: F={X appartient à P(E) : X=f(x)}.
Décrire cet ensemble"
****
Là, je pense qu'il n'y a aucun problème si j'affirme que X doit être égale à
XUA, donc l'ensemble F correspond aux ensembles X compris dans A.
*
"On pose, pour tout X appartient à E: Fx={Y appartient à F : X inclus dans
Y}
Décrire cet ensemble, et prouver qu'il possède bien un plus petit élément"
****

En fait, je ne suis pas sur de bien comprendre ce à quoi correspond
l'ensemble Fx.
On sait que Y est un élément de F.
Donc Y est inclus dans A.
L'ensemble Fx correspond donc à l'ensemble des X inclus dans A? Ca reviens
au même que dans l'ensemble F... bizarre!

Si quelq'un pouvait m'aider à comprendre.

[Anonyme]

On 2004-12-04, Nicolas Richard wrote:
> Frederic a écrit :
>[color=green][color=darkred]
>> > > On 2004-12-03, Sankha wrote:
>> > > > f(X)=f(X)UA (avec A une partie de E)[/color]
>
>> f(A) = A U A = f(0) donc A = 0, et c'est ce dernier « donc » qui
>> utilise l'injectivité.
>> Et les « égalités » dont tu voudrais savoir d'où elles sortent, elles
>> sortent de la définition de f.
>
> Pour moi tu as mal lu la définition, ou alors tu pourrais détailler...[/color]

Ah ! Mille pardons, un million de pardons, omega pardons, aleph(omega)
pardons. J'ai lu vraiment de travers. Encore une fois, pardon de mon
ton déplaisant alors que tu avais parfaitement raison.

--
Frédéric, confus.

[Anonyme]

On 2004-12-04, Nicolas Richard wrote:
> Moi je lis f(x) = f(X) U A, ça veut juste dire que f(X) contient A pour
> tout X. Tout ce qu'on sait c'est que f est à valeurs dans les
> surensembles de A (dans E) qui est "A U P(E\A)" (càd { A U X où X \in
> P(A\E) }). Je doute que ça définisse f de manière unique. L'existence de
> fonctions injective et surjective dépend de la cardinalité relative de
> P(E\A) (où '\' désigne la soustraction ensembliste) et de P(E). Donc de
> celle de E\A et de E. Me gourai-je encore ?

Ah oui, je reprends donc en essayant de ne pas dire de bêtises cette
fois. Donc, f(X) = f(X) U A implique que A est égal à l'intersection
des f(X), pour tout X. Dans le cas où E est fini, ce n'est possible
que pour A vide, par un argument de cardinal. Dans le cas où E est
infini, ça se corse. Soit par exemple E = N, et l'application
f(X) = {n+1, n dans X} U {0}. Soit A = {0}, on a clairement
f(X) = f(X) U A car A inclus dans f(X). Mais on peut faire pire,
avec f(X) = {2n+1, n dans X} U 2N, et dans ce cas A = 2N fonctionne.
Donc effectivement, le cardinal de E\A doit être infini pour qu'une
telle chose puisse se produire, et si ce n'est pas le cas, alors A = 0.

Ce n'est hélas pas une condition suffisante pour que f soit injective.
Par exemple, f(X) = X U {0} dans le cas X infini.

Par contre, pour la surjectivité, si A est non vide, alors l'ensemble
vide n'est jamais atteint. Et si A est vide, ben, f(X) = f(X), ça
ne nous dit pas grand'chose sur f...

--
Frédéric, encore une fois confus.

[Anonyme]

On 2004-12-04, Nicolas Richard wrote:
> Frederic a écrit :
>[color=green][color=darkred]
>> > > On 2004-12-03, Sankha wrote:
>> > > > f(X)=f(X)UA (avec A une partie de E)[/color]
>
>> f(A) = A U A = f(0) donc A = 0, et c'est ce dernier « donc » qui
>> utilise l'injectivité.
>> Et les « égalités » dont tu voudrais savoir d'où elles sortent, elles
>> sortent de la définition de f.
>
> Pour moi tu as mal lu la définition, ou alors tu pourrais détailler...[/color]

Dernière précision : je pense, vu la suite des opérations et les
réponses de Sankha, que c'est lui qui nous a donné un énoncé faux,
que j'ai rectifié automatiquement en un exercice hyper-classique de
colle.

[Anonyme]

Sankha a écrit :
> si j'affirme que X doit être égale à
> XUA, donc l'ensemble F correspond aux ensembles X compris dans A.

Non.

--
Nico, je ne te fais pas l'affront de détailler ma réponse

[Anonyme]

Frederic a écrit :
> Dernière précision : je pense, vu la suite des opérations et les
> réponses de Sankha, que c'est lui qui nous a donné un énoncé faux,
> que j'ai rectifié automatiquement en un exercice hyper-classique de
> colle.

On dirait en effet que l'énoncé a changé
Ceci dit, remarque que je ne suis pas Paul (référence à ton autre
réponse)

--
Nico.

[Anonyme]

Non, c'est moi qui suis désolé, mais j'ai mal présenté mon problème.
La première partie du problème demandais de "fixer" A pour que la fonction f
soit surj ou injective. Mais pour la suite, le problème est mal posé, et je
pense que l'on doit considérer une partie A de E quelconque.

On doit donc dans un deuxième temps décrire les ensembles suivants (je
rapelle que A dois être quelconque selon moi):

> *
> "On pose: F={X appartient à P(E) : X=f(x)}.
> Décrire cet ensemble"
> ****
> Là, je pense qu'il n'y a aucun problème si j'affirme que X doit être égale
> à
> XUA, donc l'ensemble F correspond aux ensembles X compris dans A.
> *
> "On pose, pour tout X appartient à E: Fx={Y appartient à F : X inclus dans
> Y}
> Décrire cet ensemble, et prouver qu'il possède bien un plus petit élément"
> ****
>
> En fait, je ne suis pas sur de bien comprendre ce à quoi correspond
> l'ensemble Fx.
> On sait que Y est un élément de F.
> Donc Y est inclus dans A.
> L'ensemble Fx correspond donc à l'ensemble des X inclus dans A? Ca
> reviens
> au même que dans l'ensemble F... bizarre!
>
> Si quelq'un pouvait m'aider à comprendre.

[Anonyme]

On 2004-12-04, Sankha wrote:
> Non, c'est moi qui suis désolé, mais j'ai mal présenté mon problème.
> La première partie du problème demandais de "fixer" A pour que la fonction f
> soit surj ou injective. Mais pour la suite, le problème est mal posé, et je
> pense que l'on doit considérer une partie A de E quelconque.

Veux-tu bien déjà confirmer que la fonction est f: X -> X U A, et pas
f(X) = f(X) U A ?

[Anonyme]

Ah!!! Mon, dieu!!!!!

Je m'excuse mille fois à vos genoux. Je ne suis qu'un misérable taupin qui a
eu du mal à se relire...

La fonction f est bien définie par:
*************
f : X -> XUA
*************
Encore désolé, désole, et exp(10^Pi)* "désolé"

[Anonyme]

Sankha a écrit :
> Soit f, une application de P(E) dans P(E) telle que:
> f(X)=f(X)UA (avec A une partie de E)
> A quelle condition sur A, f est-elle injective? surjective?
> -------------
>
> En partant de la définition de l'injectivité, j'arrive à la conclusion que A
> doit être inclue dans X. Comme X est une partie quelconque de E, en
> particulier X peut-être l'ensemble vide.
> Donc, A doit être l'ensemble vide.
>
> Mon résultat me parait bizarre, sachant que je trouve la même chose (A doit
> être vide) pour le cas de la surjection. Quelle est mon erreur (s'il y en a
> une)?
>
>


cette définition entraine que A inclus dans f(X) pour tout X donc A doit
être inclus dans l'intersection de tous les f(X) ... il suffit alors que
deux des f(X) soit d'intersection vide pour que A doive être vide ...

L'énoncé doit être mal lu par l'auteur !