F(x+y)=f(x)+f(y)

[praud]

soit la fonction f continue en 0 tel que pour tous x,y apaRtenant a R
f(x+y)=f(x)+f(y)
J'ai demontre que f(0)=0 ;f est impaire( f(-x)=-f(x)), quelle verifie pour tout entier relatifs f(x)=x*f(1) mais je sais pas faire pour l'etendre l'egalite ,d'abord, a tous rationnels puis a tout réels.
Pourrier vous m'aider.
MERCI

[Zebulon]

Bonsoir,
pour montrer que pour tout :
soit
. Et ça, est-ce vrai ?

[praud]

Je ne comprends pas pourquoi c'est vrai
que q*f(p/q)=p*f(1).

[alben]

Je ne comprends pas pourquoi c'est vrai
que q*f(p/q)=p*f(1).

Oui, il me semble que Zebulon a sauté une étape :
x un réel, n un entier :
f(nx)=f(x+x+x..+x)=f(x)+f(x)...+f(x)=nf(x)
(ça se démontre rigoureusement par récurrence sur n)

[Zebulon]

Je n'ai pas sauté d'étape, j'ai juste dit :

soit
. Et ça, est-ce vrai ?

C'est-à-dire qu'il reste à montrer l'égalité pour tous .
Mais c'est vrai que pour le montrer, il faut d'abord montrer que .

[praud]

Ca je l'ai deja demontre pour n appartenan a Z.

[Zebulon]

Alors il vous suffit de montrer l'égalité :
pour tous .

[praud]

Moi je l'ai fait comme ca(d'abord je l'ai demontre pour le cas x=1/p) :
1=P/P(P non null,P appartient a Z)
f(1)=f(P/P)=f(P*1/P)=Pf(1/P) car f(nx)=nf(x) pour x appartenant a R et n appartenant a Z.
Donc 1/P*f(1)=f(1/P) par division par p qui est non null.
Donc f(P/Q)=f(P*1/Q)=P*f(1/Q) car f(nx)=nf(x) pour x appartenant a R et n appartenant a Z.
D'ou(d'apres le résultat precedent)
f(P/Q)=P*f(1/Q)=P*1/Q*f(1)=P/Q*f(1).
Donc le resultat est demontre pour tout rationelles.
Mais maintenant comment faire pour le demontrer a tout réel:
Pour tout réel x,f(x)=x*f(1).
Merci

[Imod]

Il faut utiliser la continuité de f : {x dans R / f(x)=xf(1)} est un fermé de R contenant Q or Q est dense dans R .

Imod

[praud]

C'est la notions de densite que je ne comprends pas.d'ailleurs f n'est continues qu'en 0(hypotese de depart).

[Imod]

En fait la continuité en 0 entraine la continuité partout :
.

Imod

[praud]

Ca veut dire quoi que Q est dense dans R.

[Alpha]

Ca veut dire que tout réel peut s'écrire comme limite d'une suite de rationnels.
Oublie cette histoire de densité si tu n'as pas encore vu ça, et retiens juste ce que je viens de dire, à savoir que tout réel peut s'écrire comme limite d'une suite de rationnels.
En cherchant un peu, tu devrait arriver à montrer que l'ensemble des fonctions cherché est l'ensemble des applications linéaires de R dans R.

[Mohamed]

salut

Alors il vous suffit de montrer l'égalité :
pour tous .

cette égalité est simple à démontrer
en effet
une simple récurrence nous mène à trouver que n ds
on a

on a

=

de plus on
= (2)
les deux relations 1 et 2 te permettent de trouver l'égalité demandée
par suite en utilisant la densité de Q ds R on trouve que pour tt ds

HM

[Zebulon]

Une fois le résultat montré pour les rationnels, pour l'étendre aux réels, on utilise :

• tout réel est la limite d'une suite de rationnels
• f est continue en 0 donc continue sur
• la caractérisation séquentielle de la continuité : f est continue en si et seulement si quelle que soit la suite de réels qui tend vers , la suite tend vers .

Pour utiliser la dernière, pensez qu'une suite de rationnels est une suite de réels...

[aviateurpilot]

soit , we have and

[Zebulon]

soit , we have and

Ce n'est pas la peine d'exhiber une suite de rationnels qui tende vers x, son existence suffit.
Ensuite on a : (car ) et pas mais je sais que ce n'est qu'un oubli de votre part, aviateurpilot !:happy2:
A part ça, ça manque un peu de justification, mais c'est la méthode.

[aviateurpilot]

ça manque un peu de justification, mais c'est la méthode.

je croyais que c'etait tres clair que tend vers x puisque c'est la representation decimale de x avec n chiffres apres la

[Zebulon]

Le manque de justification, c'était pour .

[aviateurpilot]

c'est la caractérisation séquentielle de la continuité
toi aussi tu l'as dit sans justifier :zen: