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[FLEURISTIN]

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[hdci]

Bonjour,

Avant tout il faut bien préciser comment est menée la récurrence : il y a l'initialisation (on vérifie pour ) puis l'hérédité : montrer que si la propriété est vraie pour alors vraie pour

Dire qu'elle est vraie pour , c'est dire que pour n'importe quelle partition de ensembles la propriété est vraie.
On considère alors une partition de n+1 ensembles.

En posant pour tout , puis , on obtient une partition de ensembles et là on peut appliquer l'hypothèse de récurrence.

Il y a juste un petit point sur lequel il faut faire attention avec

(Ceci dit, il me semble qu'il manque des hypothèses sur la série, non ? Absolue convergence peut-être ?)

[FLEURISTIN]

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[Ben314]

Salut,
Perso, c'est principalement la notion même de "démonstration" qui m'échappe un peu vu le contexte.

Si on te demande de démontrer que

tu écrit quoi sur ta copie ?

Et sinon, ce qu'il y a d'écrit en dessous de "preuve" dans ton truc, ben c'est du grand n'importe quoi vu que si est une partition de alors n'en est pas une (sauf si bien sûr)

[LB2]

Cela me fait penser à la réplique de Bertand Russel dans "Logicomix" qui s'adresse à un tout petit garçon :
"On a démontré que 1+1=2 en 300 pages" ... ahahah

[hdci]

Oui si est un ensemble fini le résultat est trivial.

Mais si est un ensemble d'indice quelconque (donc a priori infini) cela ne marche plus aussi facilement.

Quand je mentionnais "absolue convergence", c'est pour être sur que chacune des sommes converge.

Par exemple, la série converge, mais on peut difficilement écrire



Vu que les deux séries de droite sont infinies. Pourtant on a bien partitionné en pair et impair.

[hdci]

Au temps pour moi : je n'avais pas vu la mention "une famille finie"...

Du coup oui c'est un peu trivial : associativité et commutativité...

[Ben314]

De toute façon, même si c'était une famille infinie, ça marcherais aussi (sans hypothèses supplémentaires) : l'énoncé parle de somme sur un ensemble I sans précision sur I, donc sans sous entendre que I est muni d'une relation d'ordre (comme N) faisant qu'il y a une notion de "somme partielles" (associées à l'ordre sur I).
Et dans un tel contexte où il n'y a aucune structure particulière sur l'ensemble I, la seule notion qui existe est celle de famille sommable dans laquelle le résultat en question (d'associativité/commutativité de la somme) est systématiquement vrai.

P.S. : C'est plus au programme nulle part la notion de famille sommable ?