^g(x)= e^x - 1 / x et ln(g(x))

[SachaM17]

Bonjour à tous,

Je suis un peu perdue face à deux questions de mon exercice de maths...

La première demande de montrer que pour tout x appartenant à R*, e^x-1/x > 0
J'ai essayé de prouver ça à l'aide des limites, des dérivées, en résolvant l'inéquation ( que je n'arrive pas à résoudre d'ailleurs ) mais rien ne marche. Soit je me trompe dans les calculs, soit ce ne sont pas les bonnes méthodes, je ne sais pas..

La deuxième question pose : On considère f définie sur R par : f(x) = ln (e^x-1/x) si x # 0
f(0) = 0
Je dois montrer que f est continue. D'après mon cours je sais qu'une fonction est continue si lim f(x) x->a = f(a).
Or ici on ne me donne aucun a pour la limite donc je n'arrive pas à appliquer le cours

J'espère que quelqu'un arrivera à m'éclairer. Merci d'avance!

[infernaleur]

Ton inégalité cs bien (e^x - 1) / x >0 ??

[infernaleur]

Si c'est le cas regarde dans le cas x>0 et x <0 ce que sa donne.

[SachaM17]

Oui c'est bien (e^x-1) / x > 0 . Mais à vrai dire je ne suis as sûre que résoudre l'inégalité soit la bonne méthode pour prouver que (e^x-1) / x > 0... Je ne sais pas comment faire

[infernaleur]

si x >0 e^x> ?

[SachaM17]

e^x>1

[infernaleur]

Oui voilà et donc e^x-1>0 et que peux tu dire de (e^x-1)/x maintenant (n'oublie pas que l'on suppose x>0)

[infernaleur]

Une fois que tu auras compris il ne te restera plus qu'a faire la même chose mais cette fois pour x<0.
Pour la deuxième question ta fonction f est évidemment continue en tout x appartenant à R* ( car tu sais que (e^x -1)/x >0 et donc par composée de fonction continue ta fonction est continue) .
Il ne reste plus qu'a voir la continuité en 0 où la c'est plus délicat, en utilisant la formule avec la limite que tu as énoncé.

Dans un exercice comme celui ci rappelle toi toujours où est-ce que les fonctions usuelles que tu connais sont continues ( ln est continue sur ]0,+l'infini[ exp est continue sur R etc ...) cela te permettra de limiter ton étude de continuité en un seul point en général comme ici en 0.

(Petite astuce : quand tu vois que l'on te donnes une fonction avec deux expressions différentes, la continuité que tu devras étudier sera surement la deuxième expression de ta fonction ici 0 ^^ )

[SachaM17]

Super! Merci beaucoup pour ton aide, j'ai compris la démarche

[infernaleur]

De rien =), tu as réussi a montrer la continuité en 0 ?

[SachaM17]

Oui je pense que c'est bon! J'ai utilisé la formule que j'avais, et les limites à gauche et à droite ! J'ai trouvé un exemple a peu près similaire, je pense avoir le bon raisonnement