D(x,A)

[Maneeeel]

Bonjour,
A une partie non vide De R et x apparrient a R on pose:
d(x, A) = inf( /x-a/) , a appartient a A
Comment peut on montrer que A dense dans R si et seulement si d(x,A) =0
Merci

[Ben314]

Salut,
Énoncé tel quel, ça n'a pas le moindre sens.
Par contre, ce qui est vrai, c'est qu'une partie non vide A de R est dense dans R si et seulement si, pour tout x de R, on a d(x,A)=0.

Et ça résulte immédiatement de la définition de la densité :
A est dense dans R <=> (déf) pour tout x dans R et tout epsilon>0, ]x-epsilon,x+epsilon[ inter A est non vide.
Or, dire que ]x-epsilon,x+epsilon[ inter A est non vide signifie (par définition d'une borne inférieure) que d(x,A)<epsilon.