( Bon je dois encore surement " resonner " comme un tambour,
j'aurais besoin d'une indication pour me sortir de la, je suis un peu perdu dans cet exercice )
P(x) = a_{0} x^{2 n} + ...+ a_{n-1} x^{n-1}
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P(x) = a_{0} x^{2 n} + ...+ a_{n-1} x^{n-1}
par ortollj » 06 Fév 2016, 20:00
Bonsoir
 = a_{0} x^{2 n} + a_{1} x^{2n-1} + ... + a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_{0} \\\text{ avec } a_{0} \ne 0. \\\text{ 1. Montrer que si } \alpha \in k \text{ est racine de P, alors } \alpha \text{ est non nul et } \alpha^{-1} \text{est aussi racine de P.} \\\text{ 2. Montrer qu il existe } Q \in k[x] \text{ de degre n tel que l on ait } P(x) = x^n Q(x + \frac{1}{x})\\ \\\text{je prend un exemple avec n=3 } \\P(x) = a_{0} \; x^{6} + a_{1} \; x^{5} + a_{2} \; x^{4} + a_{3} \; x^{3} + a_{2} \; x^{2} + a_{1} \; x + a_{0} \; x^{0} \\P(x) = x^3 [ a_{0} x^3 + a_{1} x^2 + a_{2} x^1 + a_{3} + a_{2} x^{-1} + a_{1} x^{-2} + a_{0} x^{-3}] \\P(x) = x^3 [ \; a_{0} x^{ 3} + a_{1} x^{ 2} + a_{2} x^{ 1} \\ \text{\; \; \; \; \; \; \; \; \;} + a_{0} x^{-3} + a_{1} x^{-2} + a_{2} x^{-1} \\\text{\; \; \; \; \; \; \; \; \; } + a_{3} \; ] \\\text{ d'ou il me semble que pour le cas general , on ait }\\P(x) = x^n [ \; \sum_{i=0}^{n-1} {(a_{i} x^{n-i} )} + \sum_{i=0}^{n-1} {(a_{i} x^{-(n-i)}) } \; ] + a_{n} x^n \\ \\\text{ et si on pose } X=x^{-1} \\ \\P(x) = x^n [ \; \prod_{i=0}^{n-1} {(x-\alpha_{i} )} + \prod_{i=0}^{n-1} {(X-\alpha_{i}) } ] + a_{n} x^n \\ \\\text{ du coup pour que P(x) s annule il faudrait } \\ \\-a_{n}=[ \; \prod_{i=0}^{n-1} {(x-\alpha_{i} )} + \prod_{i=0}^{n-1} {(X-\alpha_{i}) } ])
( Bon je dois encore surement " resonner " comme un tambour,
j'aurais besoin d'une indication pour me sortir de la, je suis un peu perdu dans cet exercice )
( Bon je dois encore surement " resonner " comme un tambour,
j'aurais besoin d'une indication pour me sortir de la, je suis un peu perdu dans cet exercice )
si j'avais su j'aurais pas venu.
Re: P(x) = a_{0} x^{2 n} + ...+ a_{n-1} x^{n-1}
par lionel52 » 06 Fév 2016, 20:09
T'y es pas du tout c'est beaucoup plus simple : un exemple
x²+3x+1 = 0
Alors 1/x² + 3/x + 1 = (x²+3x+1)/x² = 0
x²+3x+1 = 0
Alors 1/x² + 3/x + 1 = (x²+3x+1)/x² = 0
Re: P(x) = a_{0} x^{2 n} + ...+ a_{n-1} x^{n-1}
par ortollj » 06 Fév 2016, 20:18
Oh la la ! 
merci lionel52
merci lionel52si j'avais su j'aurais pas venu.
Re: P(x) = a_{0} x^{2 n} + ...+ a_{n-1} x^{n-1}
par zygomatique » 06 Fév 2016, 20:31
salut
les cloches résonnent; les hommes raisonnent ....
travailler dans l'ordre ::
1/ 0 est-il racine de P ?
2/ si a est racine de P alors .... ?
Bon je dois encore surement " resonner " comme un tambour,
les cloches résonnent; les hommes raisonnent ....
travailler dans l'ordre ::
1/ 0 est-il racine de P ?
2/ si a est racine de P alors .... ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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