Ed

[zaidoun]

Salut ,
Qui peut m'aider à résoudre ces deux questions

On considère l' équation différentielle
|y'(t) | + 3 t^2 y(t) = 0 (2)

1) Soit I un intervalle de R d’intérieur non vide et soit y : I --> R une solution de (2) qui s'annule en un point a de I. En considérant les applications d efinies pour tout t de I par

z_1(t) = y(t) exp(t^3) et z_2(t) = y(t) exp( - t^3)

Montrer que y(t) = 0 pour tout t de I.

2) Montrer que si y est une solution non identiquement nulle de (2) sur
]-\infty, 0[ (resp. ]0, +\infty[ ) alors y' garde un signe constant sur ]-\infty, 0[ (resp. ]0,+\infty[ ).

[emdro]

Bonjour,

1. qu'as-tu fait ?
2. l'énoncé (ou ton cours) précise-t-il la classe des solutions cherchées ? ou ?

[zygomatique]

salut

si alors

on dérive et on remplace dans l'équation ....

[zaidoun]

Salut,
Il n'a pas précisé dans l’énoncé, dans le cours le prof nous a dit que les solutions sont dérivables.

aucune idée pour la première question.
pour la deuxième question, j'ai essayé comme suivant:

Soit y une solution non identiquement nulle de (2) sur ] - \infty, 0[, donc il existe b dans I tel que y(b) # 0.
Par l'absurde, supposons que y' ne garde pas un signe constant sur ] -\infty, 0[, donc il existe c et d dans ]-\infty, 0[ tels que y'(c) >= 0 et y'(d) <=0. Comme y' est continue, alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe a tel que y'(a) =0 et donc y(a)=0 (puisque y solution de (2)) . D’après 1), on a y(t)=0 pour tout t dans ]-\infty, 0[, ce qui est contradictoire avec y(b )# 0.
Par conséquent, y' garde un signe constant sur ]-\infty, 0[.
Même travail sur ]0, +\infty[.

Peut être la seule chose que dérange est la continuité de y', non? je sais pas si elle est vérifiée ou non.

[zygomatique]

y' est continue puisque |y'| = -3t^2y qui est un produit de fonctions continues ...

[zaidoun]

si | f | est continue, alors f est continue, c'est toujours vrai?

[emdro]

y' est continue puisque |y'| = -3t^2y qui est un produit de fonctions continues ...

Ce puisque est faux ! Il existe des fonctions discontinues dont la valeur absolue est continue...

[emdro]

Peut être la seule chose que dérange est la continuité de y', non? je sais pas si elle est vérifiée ou non.

A mon avis, la continuité de y' est une hypothèse implicite de l'énoncé. Sinon, c'est vraiment plus compliqué. Je te conseille de commencer ta rédaction en précisant que tu t'es placé dans ce cas, i.e. que tu cherches les solutions de classe .

OK pour la question 2.

Pour la première, tu peux travailler sur des intervalles (y' étant continue, elle ne peut changer de signe trop brutalement) où la fonction f' garde un signe constant. Cela te permet alors d'ôter la valeur absolue et de te servir de ou selon les cas.

[emdro]

y'(a) =0 et donc y(a)=0 (puisque y solution de (2)) .

et que a est non nul. D'où la nécessité d'exclure 0 de l'intervalle.

[emdro]

Si tu veux chercher les solutions de classe , tu peux quand même utiliser ton raisonnement, mais il faut connaître le théorème de Darboux, qui dit qu'une dérivée vérifie toujours la propriété des valeurs intermédiaires (même si elle n'est pas continue).

[paquito]

1) si .
Si , d'où et , par conséquent et sont constantes et comme , on a et a fortiori.

[zaidoun]

D^1 c'est à dire dérivable?
vérifie la propriété des valeurs intermédiaires c'est à dire tout c entre y(a) et y(b) admet un antécédent dans l'intervalle de bornes a et b.??

[emdro]

1) si y(t) \geq0, Z'_1(t)=y'(t)+3t^2y(t)=0.
Si Y(t)\leq 0, z'_2(t)=-y'(t)+3t^2y(t)=0, d'où z'_1(t)=0 et z'_2(t)=0

Il y a quelques fautes de frappe : la discussion porte sur le signe de la dérivée de y (et non de y), et il manque l'exponentielle en facteur dans la dérivée.

Mais surtout, la conclusion est ou , ce qui fait que si la dérivée change de signe, ni ni n'est nul sur l'intervalle I.

C'est pour cela qu'il faut séparer en intervalles maximaux où la dérivée y' est de signe constant. Et l'annulation aux bornes permet de conclure.

[emdro]

D^1 c'est à dire dérivable?
vérifie la propriété des valeurs intermédiaires c'est à dire tout c entre y(a) et y(b) admet un antécédent dans l'intervalle de bornes a et b.??

Oui et oui !

[zaidoun]

@emdro: merci beaucoup.
mais franchement, j'ai pas bien saisi votre réponse au première question, pouvez vous me détailler encore votre réponse?

[paquito]

Je reprend la réponse bâclée postée en vitesse hier soir.
est dérivable et, donc si , etet est constante sur chaque intervalle où

De même; est dérivable et, donc si , etet est constante sur chaque intervalle où ;

on a et et y'(a)=0; si y' garde un signe contant sur I, on aura soit , soit , ce qui conduit à sur , donc à exclure, après tout dépend de ce que l'on peut envisager sur y'! Peut on exclure le cas extrême ou y' n'est pas continue?

Sinon, soit le plus grand élément de tel que sur , , donc avec y(b)=0 (on aurait pu prendre ); sur , on aet donc; soit alors tel que sur , , on a =, d'où et sur .

En clair, la dérivée s'annule et change de signe, y(t) reste = à 0; à rédiger clairement! De toute façon, je suis tout à fait d'accord; il n'y a pas de démonstration simple.

[emdro]

Je ne vois pas de démonstration simple, même en supposant la dérivée continue.

Supposons qu'une solution de (2) s'annulant en a ne soit pas nulle sur I. Il existe donc un b tel que .

On a même .

On a supposé la fonction y' continue, donc sur un voisinage de c, y' est négative. L'ensemble des valeurs inférieures à c annulant la dérivée est non vide (il contient a) et majoré (par c). Il admet donc une borne supérieure d.

En utilisant à nouveau la continuité de y', on peut prouver que y'(d)=0. Donc .

• 1er cas: si ;
  
  sur [d,b] la dérivée est négative. On peut donc utiliser pour prouver que .
  
  Comme , on a . D'où : ABSURDE
• 2ème cas: si ;
  
  Dans ce cas, on peut déduire d'une part que d=0, et d'autre part que (puisque y(a)=0).
  On a même, par définition de d, .
  
  Il suffit alors de recommencer le raisonnement en remplaçant b par d. On aboutira à l'existence d'une valeur (et donc non nulle cette fois) qui nous mènera à la contradiction.
  

J'espère n'avoir rien oublié...
C'est un peu lourd comme démonstration, et pourtant, on est dans le bon cas où la fonction y est supposée de classe !

[mathelot]

soit t_0 tel que y'(t_0) > 0

dans un voisinage de t_0 on a:




désignent des constantes d'intégration.






par continuité de y

d'où la dérivée



le problème n'est plus de Cauchy en t=0
mais ça n'a pas d'importance, vû que la solution maximale y est définie sur R tout entier.

[emdro]

Hello Paquito,

On a les mêmes idées !

Sinon, soit b le plus grand élément de I <a tel que sur [b; a], y'(x)\geq 0

Tu veux dire le plus petit ?
Le problème, c'est l'existence de b. Tous les ensembles n'ont pas forcément de plus grand (ou de plus petit) élément.

donc avec y(b)=0

y'(b)=0 n'implique pas que y(b)=0 : c'est peut-être b=0... C'est ce qui m'a fait envisager les deux cas.

[emdro]

le problème n'est plus de Cauchy en t=0
mais ça n'a pas d'importance, vû que la solution maximale y est définie sur R tout entier.

Bonjour Mathelot,

Sauf erreur, le théorème de Cauchy Lipschitz et son cortège de solutions maximales parle des équations différentielles définies par y'=F(t,y). Ce n'est pas tout à fait le cas ici, à cause de la valeur absolue.