Ed

[zaidoun]

Bonjour,

Tout d'abord merci beaucoup pour vos réponses. J'ai une autre proposition:

Soit b < a. On a y(b)<=0. De plus, d’après l'équation, on a z'_1 (t) <= 0 pour tout t entre a et b.
par suite z_1 (a) <= z_1(b), ceci n'es possible que si y(b)=0.
Même raisonnement si b>a mais maintenant on travaille avec z_2, on trouve aussi y(b)=0. d'ou y(t)=0 pour tout t dans I.

C'est vrai?

[emdro]

Bonjour,

d’après l'équation, on a z'_1 (t) <= 0 pour tout t entre a et b.

C'est vrai?

Je crains que non ! Pourquoi aurait-on z'_1 (t) <= 0 pour tout t entre a et b ?

[zaidoun]

En effet , soit t dans [b, a], on a

z_1'(t) = (y'(t) + 3t^2 y(t))exp(t^3)

et |y'(t)| + 3t^2 y(t)=0

si y'(t) est positif, on a donc z_1'(t) =0

si y'(t) est, négatif, on a aussi y(t) négatif et donc z_1'(t) est négatif

[emdro]

Ah pardon, j'avais lu y' négatif au lieu de .

Tu as raison, d'après l'équation (2), on a toujours y négatif. Par conséquent, z_1 et z_2 sont toujours négatives.

Mais on peut comme tu l'as fait montrer que z_1 est décroissante et z_2 croissante sur l'intervalle I. Et comme elles s'annulent en a, on a nécessairement z_1 nulle à gauche de a et z_2 nulle à droite.

Et par suite, y est nulle sur I.

Bravo, c'est de loin la meilleure méthode. Et qui utilise vraiment l'indication de l'énoncé...

Au fait, que fais-tu comme études ?

[zaidoun]

Ok merci bien.
Je suis en 3ème année Licence mathématiques.

[emdro]

Ok merci bien.
Je suis en 3ème année Licence mathématiques.

Alors tu as largement le niveau pour suivre la démonstration du théorème de Darboux, et tu pourras l'utiliser dans la question 2 !

Bonne journée. :zen:

[paquito]

Bonjour,

Tout d'abord merci beaucoup pour vos réponses. J'ai une autre proposition:

Soit b a mais maintenant on travaille avec z_2, on trouve aussi y(b)=0. d'ou y(t)=0 pour tout t dans I.

C'est vrai?

Je crois bien que c'est bon! Puisque et on a soit et , donc ça tient la route! Bravo!


Pour la 2) il y a comme solutions et , avec ; y en a t'il d'autres? à voir, ce n'est pas demandé;
sinon toute solution vérifie , mais est exclus d'après la question précédente, il reste donc ; finalement, il ne fallait pas partir sur une fausse piste qui n'apportait que des complications