[Noona]

Bonjour,

J'aurais deux questions sur lesquelles je sèche particulièrement:
- si on suppose qu'un couple A² d'anneaux possède un PGCD, comment peut-on montrer que des éléments a et b de l'anneau A possèdent un PPCM ?
- comment peut-on montrer qu'un anneau A est bézoutien car il vérifie le théorème de Bezout ET parce que tout couple de A² possède un PGCD ?

Merci par avance, cela fait partie d'une série de questions sur l'arithmétique et les anneaux, je bloque sur ces questions assez sévèrement et je n'ai aucune idée ( enfin si, mais c'est trop vague ) donc inutile d'essayer de "me sortir les vers du nez" :ptdr:

Quelques pistes ?

A bientot :we:

[barbu23]

Salut : :happy3:

Supposons que : possède un pour tout , et on note : .
Donc, il existe un plus petit idéal tel que : et et . Il suffit de prendre : avec : un nombre premier. Cela ne peut avoir lieu que si est factoriel, pour avoir la permission d'écrire : .
Si est factoriel.
Il existe un plus grand idéal avec et et et .
Il suffit de prendre : .
Dans le cas où est général ( i.e : non nécessairement factoriel ) attend un peu, je vais y réfléchir. :happy3:

Cordialement. :happy3:

Edit : Pour le cas non factoriel, tu montres qu'il existe un plus petit idéal principal tel que et et . Le est dans ce cas là :